素元素的个数

[TheMatrix]

我们都习惯了整数中的素数很少，x/ln(x)的比例。但是一个striking fact是，Z[x]中的素元素很多，随便写下的一个整系数polynomial，大概率不能因式分解。Z[x,y]中，那就更多了。Z[x₁,x₂,x₃,...]中，不是素元素的都寸步难行。

代数数域整数环中的素数，应该都比较少。但是阶数越高素数比例也应该越高。整数中的素数是最少的。我觉得。

[forecasting]

我们都习惯了整数中的素数很少，x/ln(x)的比例。但是一个striking fact是，Z[x]中的素元素很多，随便写下的一个整系数polynomial，大概率不能因式分解。Z[x,y]中，那就更多了。Z[x₁,x₂,x₃,...]中，不是素元素的都寸步难行。

代数数域整数环中的素数，应该都比较少。但是阶数越高素数比例也应该越高。整数中的素数是最少的。我觉得。

伟大的发现！ 。然后呢？

https://en.wikipedia.org/wiki/Generaliz ... hypothesis

在哪个方向上推广有关的定理，猜想？或者有新发现，然后倒回去解决Z上的素数问题？

[FoxMe]

代数数域中prime ideal的密度也是1/log(x)，如果给定norm的上界x。

但是我不知道prime element的密度。似乎代数数域中不怎么讨论prime element?

代数数域整数环中的素数，应该都比较少。但是阶数越高素数比例也应该越高。整数中的素数是最少的。我觉得。

[FoxMe]

Z[x]中的素元比例是多少？

Z[x]中: 素元=irreducible，
代数数域中一般不成立。

我们都习惯了整数中的素数很少，x/ln(x)的比例。但是一个striking fact是，Z[x]中的素元素很多，随便写下的一个整系数polynomial，大概率不能因式分解。Z[x,y]中，那就更多了。Z[x₁,x₂,x₃,...]中，不是素元素的都寸步难行。

[TheMatrix]

代数数域中prime ideal的密度也是1/log(x)，如果给定norm的上界x。

但是我不知道prime element的密度。似乎代数数域中不怎么讨论prime element?

我这个是loosely speaking。

Z,Z[x],Z[x,y],...都是unique factorization domain，在UFD中，irreducible element产生prime ideal吧？所以也可以叫prime element。

number field不一定是UFD，irreducible和prime ideal什么关系？我说的也许应该是irreducible。

[TheMatrix]

Z[x]中的素元比例是多少？

Z[x]中: 素元=irreducible，
代数数域中一般不成立。

这可能是个概率问题：
1，任意写出两个整数，互素的概率是多少？
2，任意写出n个整数，互素的概率是多少？
3，任意写出一组（没说几个）整数，互素的概率是多少？
4，任意给定一个系数互素的polynomial，不可因式分解的概率是多少？

[TheMatrix]

伟大的发现！ 。然后呢？

https://en.wikipedia.org/wiki/Generaliz ... hypothesis

在哪个方向上推广有关的定理，猜想？或者有新发现，然后倒回去解决Z上的素数问题？

没有明确的目标，就是周围扫听一下。

也许整数是最难的。因为关系都耦合在一起，比如3和5，关系太多了：
3+2=5
3²-4=5
3³-2=5²
....
但如果3和5是Z[x,y]中的x和y，那它俩的关系简单得多。

所以从Z[x]，Z[x,y]，等，降下来研究Z，也许更容易。

从天而降的掌法。

[FoxMe]

1，任意写出两个整数，互素的概率是多少？ 1/zeta(2)
2，任意写出n个整数，互素的概率是多少？ 1/zeta(n)
3，任意写出一组（没说几个）整数，互素的概率是多少？ 不好说
4，任意给定一个系数互素的polynomial，不可因式分解的概率是多少？ good question!

[FoxMe]

Hilbert’s Irreducibility Theorem states that a monic polynomial of degree d, where each coefficient is chosen uniformly and independently from integers in the interval [−K, K], is irreducible over the integers with probability tending to one as K goes to infinity. This statement of the theorem was proved by van der Waerden [25] in 1934.