新未名空间

FGH 写了： 2024年 3月 3日 16:29 考虑一个在[0,1]上连续可微的函数f，满足f(0)=0, f(1)=1.
问积分\int_0^1 x f'(x)^2 dx可以任意接近于零吗？
如果不是，下确界是多少，能否实现。

TheMatrix 写了： 2024年 3月 3日 19:54 我最小只能找到1/2，也就是f(x)=x。

TheMatrix 写了： 2024年 3月 3日 20:43 有更小的：
取点(a,b)=(0.2,0.3)。连接(0,0)到(a,b)，以及(a,b)到(0,1)，作为f(x)的曲线。这个积分为0.465625。小于1/2。

FGH 写了： 2024年 3月 3日 16:29 考虑一个在[0,1]上连续可微的函数f，满足f(0)=0, f(1)=1.
问积分\int_0^1 x f'(x)^2 dx可以任意接近于零吗？
如果不是，下确界是多少，能否实现。

TheMatrix 写了： 2024年 3月 3日 20:48 (a,b)=(0.2,0.33)更小，=0.463。

这个问题有分教。

TheMatrix 写了： 2024年 3月 3日 21:41 接下来，两端固定，中间取一点以直线连接的话，应该能得出中间一点的取法。

当然这个取法应该和两个端点的位置有关。(0.2,0.33)的比例适用于端点为(0,0)和(1,1)。

能不能弄出一个微分方程来，如果能的话，问题可以说解决了。

pinfish 写了： 2024年 3月 3日 22:11 写个变分方程呗
似乎极值解是sqrt{x*c}

TheMatrix 写了： 2024年 3月 3日 22:16 嗯。f(x)=√x is much better.

怎么写变分方程？变分法我没学过。

pinfish 写了： 2024年 3月 3日 22:42 \delta \int_0^1 x f'(x)^2 dx = \int_0^1 dx * ( \deltax f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) \deltax) = \int_0^1 dx * \deltax * ( f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x)) =0 -> f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) = 0

FGH 写了： 2024年 3月 4日 22:12 对不起，答案是可以趋向于零。看f(x)=x^c。虽然在0点不可微，但可以微调。

FGH 写了： 2024年 3月 4日 22:12 对不起，答案是可以趋向于零。看f(x)=x^c。虽然在0点不可微，但可以微调。

pinfish 写了： 2024年 3月 3日 22:42 \delta \int_0^1 x f'(x)^2 dx = \int_0^1 dx * ( \deltax f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) \deltax) = \int_0^1 dx * \deltax * ( f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x)) =0 -> f'(x)^2 + x 2 f'(x) f''(x) = 0

FoxMe 写了： 2024年 3月 6日 11:48 这个方法的出处？感觉和维基百科上的不一样。

https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_ ... e_equation

我算了一下得到2f'(x) + x f''(x) = 0。哪儿不对？

Amorphous 写了： 2024年 3月 6日 19:18 我算了一下是这样的

L(x, f, f') = x f'^2

pL/pf = 0

p L/ pf' = 2 x f'

Euler-Lagrange eom:

pL/pf - (d/dx) (p L/ pf' ) = - 2 ( f' + x f'') =0

FoxMe 写了： 2024年 3月 7日 15:58 你的推导是对的。( f' + x f'') =0的解是什么？

Amorphous 写了： 2024年 3月 8日 15:05 f = a + b log x

楼主那个解貌似可能也可以

TheMatrix 写了： 2024年 3月 8日 15:16 这个解好像不能做到f(0)=0, f(1)=1吧？

而f(x)=x^c可以做到。