问一个微积分里笛卡尔坐标系下画矢量图的哲学问题

[verdelite]

例如在(t,y)平面上画一个矢量(t_0,y_0)。这个矢量从原点出发，连一条线段到达(t_0,y_0)，且在(t_0,y_0)处画一个箭头。这是一个(t,y)平面上矢量。这没问题。

假设有一条曲线 y=f(t)通过这个(t_0,y_0)点。现在有人来求这个曲线的斜率，r=dy/dt|(t=t_0, y=y_0)。他在这个地方画一个曲线的切线，并在这个点处画一个线段加箭头（矢量？），代表速度。

问：为啥他可以画这个“矢量”？毕竟这是一个(t,y)坐标系，就是时间-位移坐标系，并不是什么速度坐标系。为啥他能在时间-位移坐标系里画速度？哲学上来说，他这是张冠李戴吗？怎样的步骤，能让这个过程合理呢？

[Caravel]

速度可以认为是切空间中的矢量，空间中的每一点有一个独立的切空间。
https://wuli.wiki/online/tgSpaE.html

[verdelite]

速度可以认为是切空间中的矢量，空间中的每一点有一个独立的切空间。
https://wuli.wiki/online/tgSpaE.html

很好，谢谢。