Z_p一问

[TheMatrix]

给定素数p，比如p=7。一个代数方程，比如 x²+y²=5，如果mod 任意 7ⁿ有解，那么就在Z₇（7-adic integer）下有解。这个对吧？

[forecasting]

给定素数p，比如p=7。一个代数方程，比如 x²+y²=5，如果mod 任意 7ⁿ有解，那么就在Z₇（7-adic integer）下有解。这个对吧？

在Z₇（7-adic integer）下有解怎么定义的？

[TheMatrix]

在Z₇（7-adic integer）下有解怎么定义的？

嗯。问的对。我也在想。

[TheMatrix]

在Z₇（7-adic integer）下有解怎么定义的？

Z₇是一个ring。在一个ring下就可以定义一个代数方程。方程的解的定义也就清楚了。

一个ring R，考虑一个R系数二元polynomial p(x,y) ∈ R[x,y]，一个代数方程就是 p(x,y)=0，解出 (x,y) ∈ R² 就是代数方程的解。

所以这个问题，以及我最初的问题，实际上是在问Z₇是什么。为什么 x²+y²=5 是 Z₇上的一个代数方程。也就是系数，包括常数，是否属于Z₇。显然是属于的。所以一个代数方程在Z₇下有解，这个问题已经“清楚”了。

除了我们还没有说Z₇到底是什么。没说Z₇到底是什么，说“显然属于”也显然是不合适的。

那么Z₇到底是什么？

[FoxMe]

应该是对的吧，就是Z₇的定义

Z₇ = {a₀ + a₁ 7 + a₂ 7² + ...}

给定素数p，比如p=7。一个代数方程，比如 x²+y²=5，如果mod 任意 7ⁿ有解，那么就在Z₇（7-adic integer）下有解。这个对吧？

[TheMatrix]

Z₇是一个ring。在一个ring下就可以定义一个代数方程。方程的解的定义也就清楚了。

一个ring R，考虑一个R系数二元polynomial p(x,y) ∈ R[x,y]，一个代数方程就是 p(x,y)=0，解出 (x,y) ∈ R² 就是代数方程的解。

所以这个问题，以及我最初的问题，实际上是在问Z₇是什么。为什么 x²+y²=5 是 Z₇上的一个代数方程。也就是系数，包括常数，是否属于Z₇。显然是属于的。所以一个代数方程在Z₇下有解，这个问题已经“清楚”了。

除了我们还没有说Z₇到底是什么。没说Z₇到底是什么，说“显然属于”也显然是不合适的。

那么Z₇到底是什么？

还是从general的方面讲，如果有一个ring homomorphism Φ: R --> S，那么一个R上的代数方程自动也是一个S上的代数方程，而且R上有解，自动导出S上有解。因为比如说 f ∈ R[x,y]，那么 f'=Φ(f) ∈ S[x,y]，也就是把任意系数 c ∈ R 变成系数 Φ(c) ∈ S。如果代数方程 f=0 在R上有解，也就是 f(x,y) = 0。那么 (Φ(x),Φ(y)) 就是 f'=Φ(f) 在 S 上的解。

比如 Z --> Z/7Z，这是一个(surjective) ring homomorphism，一个代数方程，比如 x²+y²=5，在Z上有定义，在 Z/7Z上就自动有定义。在Z上有解，在Z/7Z上就自动有解。

注意从general方面来讲，Φ: R --> S 只需要是一个ring homomorphism，可以surjective，也可以injective，也可以不surjective也不injective。

[FoxMe]

好，我也来问个问题：

如果一个代数方程在Z_p上有解（对所有素数p），能否推出在Z上有解？

还是从general的方面讲，如果有一个ring homomorphism Φ: R --> S，那么一个R上的代数方程自动也是一个S上的代数方程，而且R上有解，自动导出S上有解。因为比如说 f ∈ R[x,y]，那么 f'=Φ(f) ∈ S[x,y]，也就是把任意系数 c ∈ R 变成系数 Φ(c) ∈ S。如果代数方程 f=0 在R上有解，也就是 f(x,y) = 0。那么 (Φ(x),Φ(y)) 就是 f'=Φ(f) 在 S 上的解。

比如 Z --> Z/7Z，这是一个(surjective) ring homomorphism，一个代数方程，比如 x²+y²=5，在Z上有定义，在 Z/7Z上就自动有定义。在Z上有解，在Z/7Z上就自动有解。

注意从general方面来讲，Φ: R --> S 只需要是一个ring homomorphism，可以surjective，也可以injective，也可以不surjective也不injective。

[TheMatrix]

还是从general的方面讲，如果有一个ring homomorphism Φ: R --> S，那么一个R上的代数方程自动也是一个S上的代数方程，而且R上有解，自动导出S上有解。因为比如说 f ∈ R[x,y]，那么 f'=Φ(f) ∈ S[x,y]，也就是把任意系数 c ∈ R 变成系数 Φ(c) ∈ S。如果代数方程 f=0 在R上有解，也就是 f(x,y) = 0。那么 (Φ(x),Φ(y)) 就是 f'=Φ(f) 在 S 上的解。

比如 Z --> Z/7Z，这是一个(surjective) ring homomorphism，一个代数方程，比如 x²+y²=5，在Z上有定义，在 Z/7Z上就自动有定义。在Z上有解，在Z/7Z上就自动有解。

注意从general方面来讲，Φ: R --> S 只需要是一个ring homomorphism，可以surjective，也可以injective，也可以不surjective也不injective。

所以又回到Z₇到底是什么的问题。

我喜欢这个定义：Z₇ 是 inverse limit of

... --> Z/7³Z --> Z/7²Z --> Z/7Z --> 0

其中每一个箭头都是 surjective ring homomorphism。

inverse limit构造一般是product，也就是 ...* Z/7³Z * Z/7²Z * Z/7Z。其元素为 (...,a₃,a₂,a₁)。也就是每一个元素a_n ∈ 每一个 product component Z/7ⁿZ。

但是还有箭头连接的要求。也就是 a_n --> a_n-1 必须是从 Z/7ⁿZ --> Z/7^n-1Z 这个surjective homomorphism来的。比如 a₂ = 13 (mod 49)，那么 a₁必须等于 6 (mod 7)。

这就是 Z₇。这是我喜欢的定义。

还有用7-base进制定义数的方法来表示Z₇的。这个需要加上Z₇拓扑，我有点怕怕。

[TheMatrix]

好，我也来问个问题：

如果一个代数方程在Z_p上有解（对所有素数p），能否推出在Z上有解？

这就是local-global principle，我们知道其结论 - 是否定的，正在朝这个方向走。

[FoxMe]

我比较适应第二种定义，而对于direct limit, inverse limit有点心慌

所以又回到Z₇到底是什么的问题。

我喜欢这个定义：Z₇ 是 inverse limit of

... --> Z/7³Z --> Z/7²Z --> Z/7Z --> 0

其中每一个箭头都是 surjective ring homomorphism。

inverse limit构造一般是product，也就是 ...* Z/7³Z * Z/7²Z * Z/7Z。其元素为 (...,a₃,a₂,a₁)。也就是每一个元素a_n ∈ 每一个 product component Z/7ⁿZ。

但是还有箭头连接的要求。也就是 a_n --> a_n-1 必须是从 Z/7ⁿZ --> Z/7^n-1Z 这个surjective homomorphism来的。比如 a₂ = 13 (mod 49)，那么 a₁必须等于 6 (mod 7)。

这就是 Z₇。这是我喜欢的定义。

还有用7-base进制定义数的方法来表示Z₇的。这个需要加上Z₇拓扑，我有点怕怕。

[TheMatrix]

所以又回到Z₇到底是什么的问题。

我喜欢这个定义：Z₇ 是 inverse limit of

... --> Z/7³Z --> Z/7²Z --> Z/7Z --> 0

其中每一个箭头都是 surjective ring homomorphism。

inverse limit构造一般是product，也就是 ...* Z/7³Z * Z/7²Z * Z/7Z。其元素为 (...,a₃,a₂,a₁)。也就是每一个元素a_n ∈ 每一个 product component Z/7ⁿZ。

但是还有箭头连接的要求。也就是 a_n --> a_n-1 必须是从 Z/7ⁿZ --> Z/7^n-1Z 这个surjective homomorphism来的。比如 a₂ = 13 (mod 49)，那么 a₁必须等于 6 (mod 7)。

这就是 Z₇。这是我喜欢的定义。

还有用7-base进制定义数的方法来表示Z₇的。这个需要加上Z₇拓扑，我有点怕怕。

这是纯代数定义的。作为product，Z₇的加法和乘法就是component-wise 的加法和乘法。

从这个定义直接得出两点：
1，Z₇ --> Z/7ⁿZ 有 projection - surjective homomorphism。
2，Z --> Z₇ 有一个 ring homomorphism。Z --> Z/7ⁿZ factor through Z₇。

Z --> Z₇ 是一个injective homomorphism。直接看的话，一个整数，比如62，在Z₇中就表示为 (6,13,62,62,62,...)。也就是 62 mod 7ⁿ。

也就是Z包含在Z₇中。Z₇比Z大。这有点反直觉。

所以一个over Z的代数方程，自动也是over Z₇的代数方程。有整数解，就自动有Z₇解。但是反之不然。

[TheMatrix]

这是纯代数定义的。作为product，Z₇的加法和乘法就是component-wise 的加法和乘法。

从这个定义直接得出两点：
1，Z₇ --> Z/7ⁿZ 有 projection - surjective homomorphism。
2，Z --> Z₇ 有一个 ring homomorphism。Z --> Z/7ⁿZ factor through Z₇。

Z --> Z₇ 是一个injective homomorphism。直接看的话，一个整数，比如62，在Z₇中就表示为 (6,13,62,62,62,...)。也就是 62 mod 7ⁿ。

也就是Z包含在Z₇中。Z₇比Z大。这有点反直觉。

所以一个over Z的代数方程，自动也是over Z₇的代数方程。有整数解，就自动有Z₇解。但是反之不然。

既然Z₇是个product：

Z₇ = Z/7Z * Z/7²Z * Z/7³Z * ...

而且其加法和乘法就是简单的component-wise加法和乘法，我想说一个代数方程在Z₇有解就等价于其在所有Z/7ⁿZ上有解。

唯一的问题是缺少序列之间的箭头：
(a₁ <-- a₂ <-- a₃ <-- ...)

[TheMatrix]

[TheMatrix]

因为 Z ⊆ Z_p for all p，所以Z ⊆ ∩Z_p，所以我们想要知道是否 Z = ∩Z_p。这就是local-global principle的大意。。。

[FoxMe]

Z₇是不可数的，当然比Z大。可以和[0, 1]之间的实数类比，都可以表示为7进制无穷序列。

但是有个问题：x² - 2 = 0这个方程在Z₇里有两个根， 能认为它们代表了正负根号2吗？

这是纯代数定义的。作为product，Z₇的加法和乘法就是component-wise 的加法和乘法。

从这个定义直接得出两点：
1，Z₇ --> Z/7ⁿZ 有 projection - surjective homomorphism。
2，Z --> Z₇ 有一个 ring homomorphism。Z --> Z/7ⁿZ factor through Z₇。

Z --> Z₇ 是一个injective homomorphism。直接看的话，一个整数，比如62，在Z₇中就表示为 (6,13,62,62,62,...)。也就是 62 mod 7ⁿ。

也就是Z包含在Z₇中。Z₇比Z大。这有点反直觉。

所以一个over Z的代数方程，自动也是over Z₇的代数方程。有整数解，就自动有Z₇解。但是反之不然。

[forecasting]

这就是local-global principle，我们知道其结论 - 是否定的，正在朝这个方向走。

这个缺了一个条件，还得看实数域上解如何

[forecasting]

二十几个回贴会标注为“火”，加把火！

[TheMatrix]

既然Z₇是个product：

Z₇ = Z/7Z * Z/7²Z * Z/7³Z * ...

而且其加法和乘法就是简单的component-wise加法和乘法，我想说一个代数方程在Z₇有解就等价于其在所有Z/7ⁿZ上有解。

唯一的问题是缺少序列之间的箭头：
(a₁ <-- a₂ <-- a₃ <-- ...)

我发现我不懂Hensel Lemma。这里应该要用到它。

[TheMatrix]

既然Z₇是个product：

Z₇ = Z/7Z * Z/7²Z * Z/7³Z * ...

而且其加法和乘法就是简单的component-wise加法和乘法，我想说一个代数方程在Z₇有解就等价于其在所有Z/7ⁿZ上有解。

唯一的问题是缺少序列之间的箭头：
(a₁ <-- a₂ <-- a₃ <-- ...)

比如
a₁是f=0 mod p的解，
a₂是f=0 mod p²的解，
a₃是f=0 mod p³的解，

那么箭头
a₁ <-- a₂ <-- a₃
代表
a₂=a₁ mod p
a₃=a₂ mod p²

只有这样，这个序列 (a₁ <-- a₂ <-- a₃ <-- ...) 才构成一个Z_p的元素。

所以只说 f=0 mod pⁿ 对任意n有解是不够的。解之间要满足箭头关系，才能推出在Z_p上有解。

[TheMatrix]

我发现我不懂Hensel Lemma。这里应该要用到它。

ring homomorphism Φ: R --> S 可以推出
1，代数方程 f=0 over R 可以看作代数方程 f=0 over S。
2，代数方程 f=0 over R 有解 (x,y)，那么代数方程 f=0 over S 一定有解 (Φ(x),Φ(y))。

但是反过来不行，代数方程 f=0 over S 有解，不一定能推出代数方程 f=0 over R 有解。

反过来叫lift。也就是代数方程 f=0 over S 的解，什么情况下能lift到代数方程 f=0 over R 的解。

如果Φ不是surjective的话，如果over S的解不在Φ的image当中，那肯定不能lift回去。

所以简单情况：Φ是surjective ring homomorphism。

比如 Φ: Z/p²Z --> Z/pZ。这就是Hensel Lemma要考虑的问题。