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是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 11:45
由 verdelite
我觉得是的，但是我当初学线性代数的小书（本校老师自己写的，非数学专业学的）上没有说。
后来就一直不知道，因为再没有机会系统学习一下线性代数了。
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 12:02
由 TheMatrix
verdelite 写了： 2022年 12月 15日 11:45
我觉得是的，但是我当初学线性代数的小书（本校老师自己写的，非数学专业学的）上没有说。
后来就一直不知道，因为再没有机会系统学习一下线性代数了。
是。可逆的线形变换，也就是GL(V)，就是由这些基本变换组合出来的。
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 12:04
由 verdelite
TheMatrix 写了： 2022年 12月 15日 12:02
是。可逆的线形变换，也就是GL(V)，就是由这些基本变换组合出来的。
不可逆的呢？应该也是吧？刚才我专门编辑了加入“压缩”二字，好把projection也包括在内。
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 12:06
由 TheMatrix
verdelite 写了： 2022年 12月 15日 12:04
不可逆的呢？应该也是吧？刚才我专门编辑了加入“压缩”二字，好把projection也包括在内。
如果你说的压缩包括projection的话，那就是全部线性变换都可以由它们组合。
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 12:35
由 YWY
verdelite 写了： 2022年 12月 15日 11:45
我觉得是的，但是我当初学线性代数的小书（本校老师自己写的，非数学专业学的）上没有说。
后来就一直不知道，因为再没有机会系统学习一下线性代数了。
你常说的SVD就是你要的分解
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 15:47
由 FoxMe
属实，反射和旋转都可用正交矩阵表示。
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 15:59
由 Caravel
感觉不全，还有平移，群论里面有GL（V）的分解定理么
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 16:08
由 verdelite
YWY 写了： 2022年 12月 15日 12:35
你常说的SVD就是你要的分解
看着像是对的
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 16:09
由 verdelite
Caravel 写了： 2022年 12月 15日 15:59
感觉不全，还有平移，群论里面有GL（V）的分解定理么
平移不是线性变换（似乎向量空间里没这个东西）
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 16:09
由 YWY
Caravel 写了： 2022年 12月 15日 15:59
感觉不全，还有平移，群论里面有GL（V）的分解定理么
线性变换保持原点不动。
（实数）域上每个可逆矩阵都可通过初等变换转化成单位矩阵，就是说每个可逆矩阵都都是初等矩阵的乘积。
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 16:26
由 TheMatrix
verdelite 写了： 2022年 12月 15日 16:09
平移不是线性变换（似乎向量空间里没这个东西）
平移是仿射变换（affine transformation）。
仿射空间就是线性空间不考虑原点。仿射变换就是线性空间的变换再加平移。
有了度量之后，平移和旋转都是保度量的。
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 16:33
由 （ヅ）
YWY 写了： 2022年 12月 15日 12:35
你常说的SVD就是你要的分解
正解, A = U\Sigma V。U,V正交矩阵，为旋转和反射的乘积。\Sigma对角阵为缩放
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 16:37
由 TheMatrix
（ヅ） 写了： 2022年 12月 15日 16:33
正解, A = U\Sigma V。U,V正交矩阵，为旋转和反射的乘积。\Sigma对角阵为缩放
对角矩阵每个对角元素不同的话，是什么缩放？
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 16:40
由 （ヅ）
TheMatrix 写了： 2022年 12月 15日 16:37
对角矩阵每个对角元素不同的话，是什么缩放？
对不同方向上的缩放，不是k*I这种在所有方向上等长缩放
没毛病
Re: 是不是同一个线性空间里的线性变换，都可以写成反射、旋转、拉伸或压缩，或者它们的串联？
发表于 ： 2022年 12月 15日 17:27
由 Caravel
YWY 写了： 2022年 12月 15日 16:09
线性变换保持原点不动。
（实数）域上每个可逆矩阵都可通过初等变换转化成单位矩阵，就是说每个可逆矩阵都都是初等矩阵的乘积。
无穷维空间呢？