素数问题为什么难

[TheMatrix]

因为素数在一个代数系统中是一个transcendental的存在。

一个代数系统 - 通常意义的代数系统 - 就是两种运算：加法和乘法。

就这么两种运算，就已经可以产生超难的问题：

x³+2x+1=0
y²=x³-x-3

难的问题都有一个特征：都是反问题。

即使是反问题，上面这些问题都有固定的幂次。

而素数没有固定的幂次 - 这是transcendental的特征。

来看看素数是怎么定义的：一个数是素数当它除了1和自己之外没有别的因子。

从这个定义可以看出，它是能够在一个代数系统中定义的。但是，它是以否定形式定义的。而以否定形式定义的物体，它就要求你一个一个检查过去。transcendental number是怎么定义的？不是代数数的，就是transcendental - 它也是否定形式定义的。在一个系统中以否定形式定义的概念，就是这个系统的超越概念。有点像集合和它的幂集的关系。

[TheMatrix]

因为素数在一个代数系统中是一个transcendental的存在。

一个代数系统 - 通常意义的代数系统 - 就是两种运算：加法和乘法。

就这么两种运算，就已经可以产生超难的问题：

x³+2x+1=0
y²=x³-x-3

难的问题都有一个特征：都是反问题。

即使是反问题，上面这些问题都有固定的幂次。

而素数没有固定的幂次 - 这是transcendental的特征。

来看看素数是怎么定义的：一个数是素数当它除了1和自己之外没有别的因子。

从这个定义可以看出，它是能够在一个代数系统中定义的。但是，它是以否定形式定义的。而以否定形式定义的物体，它就要求你一个一个检查过去。transcendental number是怎么定义的？不是代数数的，就是transcendental - 它也是否定形式定义的。在一个系统中以否定形式定义的概念，就是这个系统的超越概念。有点像集合和它的幂集的关系。

transcendental还和无穷有关。

素数的检查步骤虽然为有限，但是没有上限。这话看着矛盾，但是我们都知道意思。

来看一个问题吧：任何4k+1的素数，必是某n²+1的因子。

写出来可以是：for any 4k+1 prime p, there exist m and n, such that mp-1=n².

看着挺简单的。但是关键是：这个4k+1的prime p，无法描述进那个方程。必须用“话”来说。

[FoxMe]

数论的问题是离散问题，通常比连续问题难得多。

>就这么两种运算，就已经可以产生超难的问题：

我也有同感，群只有一种运算，环有两种。所以环有很多难题，而群论中的很多问题已经解决。

[TheMatrix]

数论的问题是离散问题，通常比连续问题难得多。

>就这么两种运算，就已经可以产生超难的问题：

我也有同感，群只有一种运算，环有两种。所以环有很多难题，而群论中的很多问题已经解决。

嗯。代数结构中，还没有超过两种以上的运算层级。二元运算，就是加法和乘法。这是两层。

有很多代数结构可以有多于一个的乘法，但是层级还是两层。比如matrix algebra，乘法可以是普通matrix乘法AB，还可以是李代数那种乘法：[A,B]=AB-BA。但是层级还是两层 - 普通乘法和李代数的乘法在同一层级，都是在加法之上的。

好像没有三层的代数结构。

依照整数的模型，加法，乘法，接下来应该是指数。

[forecasting]

因为素数在一个代数系统中是一个transcendental的存在。

一个代数系统 - 通常意义的代数系统 - 就是两种运算：加法和乘法。

就这么两种运算，就已经可以产生超难的问题：

x³+2x+1=0
y²=x³-x-3

难的问题都有一个特征：都是反问题。

即使是反问题，上面这些问题都有固定的幂次。

而素数没有固定的幂次 - 这是transcendental的特征。

来看看素数是怎么定义的：一个数是素数当它除了1和自己之外没有别的因子。

从这个定义可以看出，它是能够在一个代数系统中定义的。但是，它是以否定形式定义的。而以否定形式定义的物体，它就要求你一个一个检查过去。transcendental number是怎么定义的？不是代数数的，就是transcendental - 它也是否定形式定义的。在一个系统中以否定形式定义的概念，就是这个系统的超越概念。有点像集合和它的幂集的关系。

因为素数集合是一个递归集或可计算集，而且应该是计算复杂性为NP或NP-Hard的集合。

任何问题的证明难度和寻找证明的难度（元计算复杂性理论）都跟计算复杂性有关。奇怪的是停机问题，不完备定理等等的难度没那么高。

[TheMatrix]

sum of squares of reciprocals of primes:

[TheMatrix]

网上给的reference。Euler研究了不少级数和组合的问题：