出个线性代数问题考考大家：为什么数学之外的专业，碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵，或者其实数子集实对称阵？

[verdelite]

我出题大部分是出的概念题。懂就是懂，不懂就答不出来。

[TheMatrix]

我出题大部分是出的概念题。懂就是懂，不懂就答不出来。

我知道厄米矩阵的特征值是实数，所以量子力学中可观察量必须是厄米矩阵，因为观察值必须是它的特征值。而观察值为实数符合人类认知。

[verdelite]

我知道厄米矩阵的特征值是实数，所以量子力学中可观察量必须是厄米矩阵，因为观察值必须是它的特征值。而观察值为实数符合人类认知。

这个回答说的是表象，不是实质。（我的意思是你说了一个实例来说明它的性质，但并没有回答出原因。）

[TheMatrix]

这个回答说的是表象，不是实质。（我的意思是你说了一个实例来说明它的性质，但并没有回答出原因。）

那我再等等别人说啥。

[Caravel]

这个回答说的是表象，不是实质。（我的意思是你说了一个实例来说明它的性质，但并没有回答出原因。）

其实要的是本正值是实数，本正值代表了可测量量，Hermitian矩阵满足这个条件就被用了。话说现在有一个非厄米物理，就跳出了这个圈圈。

[FoxMe]

为啥物理观测量不能是复数？

矩阵的特征分解对角化的充分必要条件是normal matrix： AA*=A*A,这里*是Hermitian transpose. Hermitian矩阵是个特例，可能为了是方便？很多情况是个自相关矩阵，所以自然是Hermitian。

[Caravel]

为啥物理观测量不能是复数？

矩阵的特征分解对角化的充分必要条件是normal matrix： AA*=A*A,这里*是Hermitian transpose. Hermitian矩阵是个特例，可能为了是方便？很多情况是个自相关矩阵，所以自然是Hermitian。

能在仪表上读出来的没有是物理量好像没有是复数的把，长度，时间，重量，复数一般都是中间不可测物理量，比如概率幅等等。楼主别卖关子了，揭开谜底把

[YWY]

能在仪表上读出来的没有是物理量好像没有是复数的把，长度，时间，重量，复数一般都是中间不可测物理量，比如概率幅等等。楼主别卖关子了，揭开谜底把

复数可用实矩阵表示，a+bi和下面矩阵对应

a	b
-b	a

[Caravel]

复数可用实矩阵表示，a+bi和下面矩阵对应

a	b
-b	a

对，求方程下x^2=-1的根引出了复数i，Dirac当时也是为了给相对论能量求平方根，搞出了矩阵和多分量波函数。

[verdelite]

谜底来了：其实前面已经有将军（FoxMe）说过了，“数学系之外，别的专业需要对付的特征向量问题，９９％是对付Hermitian阵”的原因，是这些阵是自相关矩阵。

至于为什么如此，这是有原因的。一般来说，一个线性变换A, 把向量x变成向量y，写成y=Ax。这种理解其实是初中生理解。就像们在初中学习了9=3^2，对数字进行运算。到了高中，我们研究的其实不是数字运算。而是研究函数的性质。这个平方函数，定义域是什么？值域是什么？在什么地方有极点？在什么范围内是增长的，什么范围内是下降的？

同样，我们不应该把A理解为A乘以x得到y。我们应该理解它是一个线性映射，它把x所在的向量空间，映射到y所在的向量空间。要把y和x所在的两个空间，理解为不同的空间，而不是同一个空间。

而我们研究的一般是y中各向量之间的关系(例如做PCA)。即使是研究y和x的关系（regression），我们分析的其实是residue （y=Ax+epsilon中的epsilon)，也是同一个空间（epsilon在y所在空间）中的向量相互之间的关系。

而同一个空间里面的两个向量，y1=Ax1，y2=Ax2，要研究y1和y2之间的关系，就变成研究Ax1和Ax2之间的关系。Ax1和Ax2之间的关系，内积是x1^*A^*Ax2，外积是Ax1x2^*A^*。其中A^*A是Hermitian阵，(x1x2^*)，当你写成一个大矩阵，包含各向量，也是一个Hermitian阵。

数学里面学的非Hermitian矩阵的特征值分解，例如A矩阵的特征分解，我还真没找到有什么用处。比如，在一个天气空间到粮食收成空间的线性变换中，我们发现3温度+2湿度-1风速这个向量，对应3玉米产量+2小麦产量-1土豆产量的lambda=1.35倍。这有啥用处？我想不出来。

[Caravel]

谜底来了：其实前面已经有将军（FoxMe）说过了，“数学系之外，别的专业需要对付的特征向量问题，９９％是对付Hermitian阵”的原因，是这些阵是自相关矩阵。

至于为什么如此，这是有原因的。一般来说，一个线性变换A, 把向量x变成向量y，写成y=Ax。这种理解其实是初中生理解。就像们在初中学习了9=3^2，对数字进行运算。到了高中，我们研究的其实不是数字运算。而是研究函数的性质。这个平方函数，定义域是什么？值域是什么？在什么地方有极点？在什么范围内是增长的，什么范围内是下降的？

同样，我们不应该把A理解为A乘以x得到y。我们应该理解它是一个线性映射，它把x所在的向量空间，映射到y所在的向量空间。要把y和x所在的两个空间，理解为不同的空间，而不是同一个空间。

而我们研究的一般是y中各向量之间的关系(例如做PCA)。即使是研究y和x的关系（regression），我们分析的其实是residue （y=Ax+epsilon中的epsilon)，也是同一个空间（epsilon在y所在空间）中的向量相互之间的关系。

而同一个空间里面的两个向量，y1=Ax1，y2=Ax2，要研究y1和y2之间的关系，就变成研究Ax1和Ax2之间的关系。Ax1和Ax2之间的关系，内积是x1^*A^*Ax2，外积是Ax1x2^*A^*。其中A^*A是Hermitian阵，(x1x2^*)，当你写成一个大矩阵，包含各向量，也是一个Hermitian阵。

数学里面学的非Hermitian矩阵的特征值分解，例如A矩阵的特征分解，我还真没找到有什么用处。比如，在一个天气空间到粮食收成空间的线性变换中，我们发现3温度+2湿度-1风速这个向量，对应3玉米产量+2小麦产量-1土豆产量的lambda=1.35倍。这有啥用处？我想不出来。

你没有解释你的问题里面为啥一定要取共轭，直接用实数不行么

[verdelite]

你没有解释你的问题里面为啥一定要取共轭，直接用实数不行么

A是复数的的时候，A^*A是Hermitian；A是实数的时候，A^TA是实对称阵。两种都是常见的。后者是前者子集，也算是Hermitian矩阵。

[shuntianfu]

我来一个解答，任何一个矩阵A都可以写成对称阵和反对称阵之和, A=A1+A2, A1对称 A2反对称，

大部门遇到的问题都是关于二次型的， 而x^TA2x=0, 所以 x^TAx=x^TA1x 看到的二次型最后都会是对称阵相关的了

[YWY]

。。。

而我们研究的一般是y中各向量之间的关系(例如做PCA)。即使是研究y和x的关系（regression），我们分析的其实是residue （y=Ax+epsilon中的epsilon)，也是同一个空间（epsilon在y所在空间）中的向量相互之间的关系。

而同一个空间里面的两个向量，y1=Ax1，y2=Ax2，要研究y1和y2之间的关系，就变成研究Ax1和Ax2之间的关系。Ax1和Ax2之间的关系，内积是x1^*A^*Ax2，外积是Ax1x2^*A^*。其中A^*A是Hermitian阵，(x1x2^*)，当你写成一个大矩阵，包含各向量，也是一个Hermitian阵。

数学里面学的非Hermitian矩阵的特征值分解，例如A矩阵的特征分解，我还真没找到有什么用处。比如，在一个天气空间到粮食收成空间的线性变换中，我们发现3温度+2湿度-1风速这个向量，对应3玉米产量+2小麦产量-1土豆产量的lambda=1.35倍。这有啥用处？我想不出来。

不理解你说的外积是Ax1x2^*A^*。(x1x2^*)，当你写成一个大矩阵，包含各向量，也是一个Hermitian阵。

[verdelite]

不理解你说的外积是Ax1x2^*A^*。(x1x2^*)，当你写成一个大矩阵，包含各向量，也是一个Hermitian阵。

我的意思是，（这里写个实数的，看得清楚）假设你有n个列向量，x1,..., xn，你写出(x1^t, x2^t,...,xn^t)^t(x1^t, x2^t,...,xn^t)，这是一个实对称阵。里面，x1x2^t只是这个大矩阵的一个element矩阵，一个off diagonal子矩阵。你把大矩阵全写出来就是一个实对称阵。

[YWY]

我的意思是，（这里写个实数的，看得清楚）假设你有n个列向量，x1,..., xn，你写出(x1^t, x2^t,...,xn^t)^t(x1^t, x2^t,...,xn^t)，这是一个实对称阵。里面，x1x2^t只是这个大矩阵的一个element矩阵，一个off diagonal子矩阵。你把大矩阵全写出来就是一个实对称阵。

我以为你在说外积。

内积部分涉及到A^TA（实数情况下，复数时用A^HA），这是对称的（复数时是汉密顿型）。

但是，总觉得你给的“为什么数学之外的专业，碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵，或者其实数子集实对称阵？”的解释，还是不够有说服力。

[TheMatrix]

而我们研究的一般是y中各向量之间的关系(例如做PCA)。即使是研究y和x的关系（regression），我们分析的其实是residue （y=Ax+epsilon中的epsilon)，也是同一个空间（epsilon在y所在空间）中的向量相互之间的关系。

而同一个空间里面的两个向量，y1=Ax1，y2=Ax2，要研究y1和y2之间的关系，就变成研究Ax1和Ax2之间的关系。Ax1和Ax2之间的关系，内积是x1^*A^*Ax2，外积是Ax1x2^*A^*。其中A^*A是Hermitian阵，(x1x2^*)，当你写成一个大矩阵，包含各向量，也是一个Hermitian阵。

看到不同的视角，很好。

关于矩阵，我没什么视角。

另外，(x1x2^*) 是Hermitian矩阵吗？

[FoxMe]

这个解释很好。为啥常常是自相关矩阵，以前我也不明白。

谜底来了：其实前面已经有将军（FoxMe）说过了，“数学系之外，别的专业需要对付的特征向量问题，９９％是对付Hermitian阵”的原因，是这些阵是自相关矩阵。

至于为什么如此，这是有原因的。一般来说，一个线性变换A, 把向量x变成向量y，写成y=Ax。这种理解其实是初中生理解。就像们在初中学习了9=3^2，对数字进行运算。到了高中，我们研究的其实不是数字运算。而是研究函数的性质。这个平方函数，定义域是什么？值域是什么？在什么地方有极点？在什么范围内是增长的，什么范围内是下降的？

同样，我们不应该把A理解为A乘以x得到y。我们应该理解它是一个线性映射，它把x所在的向量空间，映射到y所在的向量空间。要把y和x所在的两个空间，理解为不同的空间，而不是同一个空间。

而我们研究的一般是y中各向量之间的关系(例如做PCA)。即使是研究y和x的关系（regression），我们分析的其实是residue （y=Ax+epsilon中的epsilon)，也是同一个空间（epsilon在y所在空间）中的向量相互之间的关系。

而同一个空间里面的两个向量，y1=Ax1，y2=Ax2，要研究y1和y2之间的关系，就变成研究Ax1和Ax2之间的关系。Ax1和Ax2之间的关系，内积是x1^*A^*Ax2，外积是Ax1x2^*A^*。其中A^*A是Hermitian阵，(x1x2^*)，当你写成一个大矩阵，包含各向量，也是一个Hermitian阵。

数学里面学的非Hermitian矩阵的特征值分解，例如A矩阵的特征分解，我还真没找到有什么用处。比如，在一个天气空间到粮食收成空间的线性变换中，我们发现3温度+2湿度-1风速这个向量，对应3玉米产量+2小麦产量-1土豆产量的lambda=1.35倍。这有啥用处？我想不出来。

[FoxMe]

我以为你在说外积。

内积部分涉及到A^TA（实数情况下，复数时用A^HA），这是对称的（复数时是汉密顿型）。

但是，总觉得你给的“为什么数学之外的专业，碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵，或者其实数子集实对称阵？”的解释，还是不够有说服力。

嗯，我也是只知其然，不知其所以然。

[verdelite]

我以为你在说外积。

内积部分涉及到A^TA（实数情况下，复数时用A^HA），这是对称的（复数时是汉密顿型）。

但是，总觉得你给的“为什么数学之外的专业，碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵，或者其实数子集实对称阵？”的解释，还是不够有说服力。

我也就只探索那么深了。人生苦短，没能长久地积累知识。我总结的主要来自统计、电子、物理等学科里需要做特征值分解的情况。控制论里面啥情况我不记得了，因为当时就没学懂。