出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
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Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
我知道厄米矩阵的特征值是实数,所以量子力学中可观察量必须是厄米矩阵,因为观察值必须是它的特征值。而观察值为实数符合人类认知。
Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
这个回答说的是表象,不是实质。(我的意思是你说了一个实例来说明它的性质,但并没有回答出原因。)
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Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
其实要的是本正值是实数,本正值代表了可测量量,Hermitian矩阵满足这个条件就被用了。话说现在有一个非厄米物理,就跳出了这个圈圈。
Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
为啥物理观测量不能是复数?
矩阵的特征分解对角化的充分必要条件是normal matrix: AA*=A*A,这里*是Hermitian transpose. Hermitian矩阵是个特例,可能为了是方便?很多情况是个自相关矩阵,所以自然是Hermitian。
矩阵的特征分解对角化的充分必要条件是normal matrix: AA*=A*A,这里*是Hermitian transpose. Hermitian矩阵是个特例,可能为了是方便?很多情况是个自相关矩阵,所以自然是Hermitian。
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Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
能在仪表上读出来的没有是物理量好像没有是复数的把,长度,时间,重量,复数一般都是中间不可测物理量,比如概率幅等等。楼主别卖关子了,揭开谜底把FoxMe 写了: 2022年 12月 9日 17:24 为啥物理观测量不能是复数?
矩阵的特征分解对角化的充分必要条件是normal matrix: AA*=A*A,这里*是Hermitian transpose. Hermitian矩阵是个特例,可能为了是方便?很多情况是个自相关矩阵,所以自然是Hermitian。
Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
复数可用实矩阵表示,a+bi和下面矩阵对应Caravel 写了: 2022年 12月 9日 17:33 能在仪表上读出来的没有是物理量好像没有是复数的把,长度,时间,重量,复数一般都是中间不可测物理量,比如概率幅等等。楼主别卖关子了,揭开谜底把
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Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
对,求方程下x^2=-1的根引出了复数i,Dirac当时也是为了给相对论能量求平方根,搞出了矩阵和多分量波函数。
Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
谜底来了:其实前面已经有将军(FoxMe)说过了,“数学系之外,别的专业需要对付的特征向量问题,99%是对付Hermitian阵”的原因,是这些阵是自相关矩阵。
至于为什么如此,这是有原因的。一般来说,一个线性变换A, 把向量x变成向量y,写成y=Ax。这种理解其实是初中生理解。就像们在初中学习了9=3^2,对数字进行运算。到了高中,我们研究的其实不是数字运算。而是研究函数的性质。这个平方函数,定义域是什么?值域是什么?在什么地方有极点?在什么范围内是增长的,什么范围内是下降的?
同样,我们不应该把A理解为A乘以x得到y。我们应该理解它是一个线性映射,它把x所在的向量空间,映射到y所在的向量空间。要把y和x所在的两个空间,理解为不同的空间,而不是同一个空间。
而我们研究的一般是y中各向量之间的关系(例如做PCA)。即使是研究y和x的关系(regression),我们分析的其实是residue (y=Ax+epsilon中的epsilon),也是同一个空间(epsilon在y所在空间)中的向量相互之间的关系。
而同一个空间里面的两个向量,y1=Ax1,y2=Ax2,要研究y1和y2之间的关系,就变成研究Ax1和Ax2之间的关系。Ax1和Ax2之间的关系,内积是x1^*A^*Ax2,外积是Ax1x2^*A^*。其中A^*A是Hermitian阵,(x1x2^*),当你写成一个大矩阵,包含各向量,也是一个Hermitian阵。
数学里面学的非Hermitian矩阵的特征值分解,例如A矩阵的特征分解,我还真没找到有什么用处。比如,在一个天气空间到粮食收成空间的线性变换中,我们发现3温度+2湿度-1风速这个向量,对应3玉米产量+2小麦产量-1土豆产量的lambda=1.35倍。这有啥用处?我想不出来。
至于为什么如此,这是有原因的。一般来说,一个线性变换A, 把向量x变成向量y,写成y=Ax。这种理解其实是初中生理解。就像们在初中学习了9=3^2,对数字进行运算。到了高中,我们研究的其实不是数字运算。而是研究函数的性质。这个平方函数,定义域是什么?值域是什么?在什么地方有极点?在什么范围内是增长的,什么范围内是下降的?
同样,我们不应该把A理解为A乘以x得到y。我们应该理解它是一个线性映射,它把x所在的向量空间,映射到y所在的向量空间。要把y和x所在的两个空间,理解为不同的空间,而不是同一个空间。
而我们研究的一般是y中各向量之间的关系(例如做PCA)。即使是研究y和x的关系(regression),我们分析的其实是residue (y=Ax+epsilon中的epsilon),也是同一个空间(epsilon在y所在空间)中的向量相互之间的关系。
而同一个空间里面的两个向量,y1=Ax1,y2=Ax2,要研究y1和y2之间的关系,就变成研究Ax1和Ax2之间的关系。Ax1和Ax2之间的关系,内积是x1^*A^*Ax2,外积是Ax1x2^*A^*。其中A^*A是Hermitian阵,(x1x2^*),当你写成一个大矩阵,包含各向量,也是一个Hermitian阵。
数学里面学的非Hermitian矩阵的特征值分解,例如A矩阵的特征分解,我还真没找到有什么用处。比如,在一个天气空间到粮食收成空间的线性变换中,我们发现3温度+2湿度-1风速这个向量,对应3玉米产量+2小麦产量-1土豆产量的lambda=1.35倍。这有啥用处?我想不出来。
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Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
你没有解释你的问题里面为啥一定要取共轭,直接用实数不行么verdelite 写了: 2022年 12月 9日 18:30 谜底来了:其实前面已经有将军(FoxMe)说过了,“数学系之外,别的专业需要对付的特征向量问题,99%是对付Hermitian阵”的原因,是这些阵是自相关矩阵。
至于为什么如此,这是有原因的。一般来说,一个线性变换A, 把向量x变成向量y,写成y=Ax。这种理解其实是初中生理解。就像们在初中学习了9=3^2,对数字进行运算。到了高中,我们研究的其实不是数字运算。而是研究函数的性质。这个平方函数,定义域是什么?值域是什么?在什么地方有极点?在什么范围内是增长的,什么范围内是下降的?
同样,我们不应该把A理解为A乘以x得到y。我们应该理解它是一个线性映射,它把x所在的向量空间,映射到y所在的向量空间。要把y和x所在的两个空间,理解为不同的空间,而不是同一个空间。
而我们研究的一般是y中各向量之间的关系(例如做PCA)。即使是研究y和x的关系(regression),我们分析的其实是residue (y=Ax+epsilon中的epsilon),也是同一个空间(epsilon在y所在空间)中的向量相互之间的关系。
而同一个空间里面的两个向量,y1=Ax1,y2=Ax2,要研究y1和y2之间的关系,就变成研究Ax1和Ax2之间的关系。Ax1和Ax2之间的关系,内积是x1^*A^*Ax2,外积是Ax1x2^*A^*。其中A^*A是Hermitian阵,(x1x2^*),当你写成一个大矩阵,包含各向量,也是一个Hermitian阵。
数学里面学的非Hermitian矩阵的特征值分解,例如A矩阵的特征分解,我还真没找到有什么用处。比如,在一个天气空间到粮食收成空间的线性变换中,我们发现3温度+2湿度-1风速这个向量,对应3玉米产量+2小麦产量-1土豆产量的lambda=1.35倍。这有啥用处?我想不出来。
Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
A是复数的的时候,A^*A是Hermitian;A是实数的时候,A^TA是实对称阵。两种都是常见的。后者是前者子集,也算是Hermitian矩阵。
Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
我来一个解答,任何一个矩阵A都可以写成对称阵和反对称阵之和, A=A1+A2, A1对称 A2反对称,
大部门遇到的问题都是关于二次型的, 而x^TA2x=0, 所以 x^TAx=x^TA1x 看到的二次型最后都会是对称阵相关的了
大部门遇到的问题都是关于二次型的, 而x^TA2x=0, 所以 x^TAx=x^TA1x 看到的二次型最后都会是对称阵相关的了
Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
不理解你说的外积是Ax1x2^*A^*。(x1x2^*),当你写成一个大矩阵,包含各向量,也是一个Hermitian阵。verdelite 写了: 2022年 12月 9日 18:30 。。。
而我们研究的一般是y中各向量之间的关系(例如做PCA)。即使是研究y和x的关系(regression),我们分析的其实是residue (y=Ax+epsilon中的epsilon),也是同一个空间(epsilon在y所在空间)中的向量相互之间的关系。
而同一个空间里面的两个向量,y1=Ax1,y2=Ax2,要研究y1和y2之间的关系,就变成研究Ax1和Ax2之间的关系。Ax1和Ax2之间的关系,内积是x1^*A^*Ax2,外积是Ax1x2^*A^*。其中A^*A是Hermitian阵,(x1x2^*),当你写成一个大矩阵,包含各向量,也是一个Hermitian阵。
数学里面学的非Hermitian矩阵的特征值分解,例如A矩阵的特征分解,我还真没找到有什么用处。比如,在一个天气空间到粮食收成空间的线性变换中,我们发现3温度+2湿度-1风速这个向量,对应3玉米产量+2小麦产量-1土豆产量的lambda=1.35倍。这有啥用处?我想不出来。
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Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
我的意思是,(这里写个实数的,看得清楚)假设你有n个列向量,x1,..., xn,你写出(x1^t, x2^t,...,xn^t)^t(x1^t, x2^t,...,xn^t),这是一个实对称阵。里面,x1x2^t只是这个大矩阵的一个element矩阵,一个off diagonal子矩阵。你把大矩阵全写出来就是一个实对称阵。
Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
我以为你在说外积。verdelite 写了: 2022年 12月 9日 19:27 我的意思是,(这里写个实数的,看得清楚)假设你有n个列向量,x1,..., xn,你写出(x1^t, x2^t,...,xn^t)^t(x1^t, x2^t,...,xn^t),这是一个实对称阵。里面,x1x2^t只是这个大矩阵的一个element矩阵,一个off diagonal子矩阵。你把大矩阵全写出来就是一个实对称阵。
内积部分涉及到A^TA(实数情况下,复数时用A^HA),这是对称的(复数时是汉密顿型)。
但是,总觉得你给的“为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?”的解释,还是不够有说服力。
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Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
看到不同的视角,很好。verdelite 写了: 2022年 12月 9日 18:30
而我们研究的一般是y中各向量之间的关系(例如做PCA)。即使是研究y和x的关系(regression),我们分析的其实是residue (y=Ax+epsilon中的epsilon),也是同一个空间(epsilon在y所在空间)中的向量相互之间的关系。
而同一个空间里面的两个向量,y1=Ax1,y2=Ax2,要研究y1和y2之间的关系,就变成研究Ax1和Ax2之间的关系。Ax1和Ax2之间的关系,内积是x1^*A^*Ax2,外积是Ax1x2^*A^*。其中A^*A是Hermitian阵,(x1x2^*),当你写成一个大矩阵,包含各向量,也是一个Hermitian阵。
关于矩阵,我没什么视角。
另外,(x1x2^*) 是Hermitian矩阵吗?
Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
这个解释很好。为啥常常是自相关矩阵,以前我也不明白。
verdelite 写了: 2022年 12月 9日 18:30 谜底来了:其实前面已经有将军(FoxMe)说过了,“数学系之外,别的专业需要对付的特征向量问题,99%是对付Hermitian阵”的原因,是这些阵是自相关矩阵。
至于为什么如此,这是有原因的。一般来说,一个线性变换A, 把向量x变成向量y,写成y=Ax。这种理解其实是初中生理解。就像们在初中学习了9=3^2,对数字进行运算。到了高中,我们研究的其实不是数字运算。而是研究函数的性质。这个平方函数,定义域是什么?值域是什么?在什么地方有极点?在什么范围内是增长的,什么范围内是下降的?
同样,我们不应该把A理解为A乘以x得到y。我们应该理解它是一个线性映射,它把x所在的向量空间,映射到y所在的向量空间。要把y和x所在的两个空间,理解为不同的空间,而不是同一个空间。
而我们研究的一般是y中各向量之间的关系(例如做PCA)。即使是研究y和x的关系(regression),我们分析的其实是residue (y=Ax+epsilon中的epsilon),也是同一个空间(epsilon在y所在空间)中的向量相互之间的关系。
而同一个空间里面的两个向量,y1=Ax1,y2=Ax2,要研究y1和y2之间的关系,就变成研究Ax1和Ax2之间的关系。Ax1和Ax2之间的关系,内积是x1^*A^*Ax2,外积是Ax1x2^*A^*。其中A^*A是Hermitian阵,(x1x2^*),当你写成一个大矩阵,包含各向量,也是一个Hermitian阵。
数学里面学的非Hermitian矩阵的特征值分解,例如A矩阵的特征分解,我还真没找到有什么用处。比如,在一个天气空间到粮食收成空间的线性变换中,我们发现3温度+2湿度-1风速这个向量,对应3玉米产量+2小麦产量-1土豆产量的lambda=1.35倍。这有啥用处?我想不出来。
Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
嗯,我也是只知其然,不知其所以然。YWY 写了: 2022年 12月 9日 19:32 我以为你在说外积。
内积部分涉及到A^TA(实数情况下,复数时用A^HA),这是对称的(复数时是汉密顿型)。
但是,总觉得你给的“为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?”的解释,还是不够有说服力。
Re: 出个线性代数问题考考大家:为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?
我也就只探索那么深了。人生苦短,没能长久地积累知识。我总结的主要来自统计、电子、物理等学科里需要做特征值分解的情况。控制论里面啥情况我不记得了,因为当时就没学懂。YWY 写了: 2022年 12月 9日 19:32 我以为你在说外积。
内积部分涉及到A^TA(实数情况下,复数时用A^HA),这是对称的(复数时是汉密顿型)。
但是,总觉得你给的“为什么数学之外的专业,碰到的特征向量问题99%都是在对付Hermitian矩阵,或者其实数子集实对称阵?”的解释,还是不够有说服力。