Computer algebra 来了

[TheMatrix]

[TheMatrix]

先证明 A5 （alternating group of 5）is simple:

[FoxMe]

这是什么？LEAN?

[Caravel]

这是什么？LEAN?

晕，这不是python么

[TheMatrix]

这是什么？LEAN?

Python. 呵呵。

[TheMatrix]

再来看一下A5的conjugacy class的划分。A5共有60个元素。分成5个共轭类：
有两个12个的，1个15个的，1个20个的，再加单位元：

[TheMatrix]

以前我说过“群是很贫瘠的土壤”，我的意思是如果只研究群的话，只研究整齐的群的话，那它就是很贫瘠。比如说A5吧。A5很大的，有60个元素，但它是一个单群。

想象一下，在这个群中漫游的话，碰到的一个一个元素，各不相同，但是仅仅是一个单群中的不同元素而已，除此之外说不出什么来了，所以说也可以说它们没什么不同 - 芸芸众生而已。

但是如果下到子集的层面，结构突然丰富起来了，因为子集它不是群，以群的办法研究不了，必须提出新的概念。

就好像在虚数 i 提出来之前，人们已经发现了一些二次方程的规律，在实数内就可以说，但是很复杂。复数的概念一出来，一切都简化了。

[YWY]

再来看一下A5的conjugacy class的划分。A5共有60个元素。分成5个共轭类：
有两个12个的，1个15个的，1个20个的，再加单位元：

There are only 3 conjugacy classes in A_5, one containing identity (only), one containing (1 2)(3 4), while the other containing (1 2 3). Here we write a permutation as a product of disjoint cycles.

The conjugacy class containing (1 2) and the class containing (1 2 3)(4 5) all consist of odd permutations. So yes, there are altogether 5 conjugacy classes in S_5.

For some silly reason, I missed the conjugacy class of (1 2 3 4), which is odd, and the class of (1 2 3 4 5), which is even. So, in S_5, there are 7 conjugacy classes, of which 4 classes are even.

[TheMatrix]

There are only 3 conjugacy classes in A_5, one containing identity (only), one containing (1 2)(3 4), while the other containing (1 2 3). Here we write a permutation as a product of disjoint cycles.

The conjugacy class containing (1 2) and the class containing (1 2 3) all consist of odd permutations. So yes, there are altogether 5 conjugacy classes in S_5.

我检查一下。

你的(1 2)(3 4) 的conjugacy class有几个元素？我的是15个。
你的(1 2 3)的conjugacy class 有几个元素？我的是20个。

S_5我算的是7个conjugacy class：

1 (0, 1, 2, 3, 4)
10 (0, 1, 2, 4, 3)
20 (0, 1, 3, 4, 2)
15 (0, 2, 1, 4, 3)
30 (0, 2, 3, 4, 1)
20 (1, 0, 3, 4, 2)
24 (1, 2, 3, 4, 0)

不过我的记法跟你的不一样，我就是记permutation，而且是从0开始。
(1 2)(3 4) 我记为 (1, 0, 3, 2, 4)
(1 2 3)我记为 (1, 2, 0, 3, 4)

[YWY]

我检查一下。

你的(1 2)(3 4) 的conjugacy class有几个元素？我的是15个。
你的(1 2 3)的conjugacy class 有几个元素？我的是20个。

S_5我算的是7个conjugacy class：

1 (0, 1, 2, 3, 4)
10 (0, 1, 2, 4, 3)
20 (0, 1, 3, 4, 2)
15 (0, 2, 1, 4, 3)
30 (0, 2, 3, 4, 1)
20 (1, 0, 3, 4, 2)
24 (1, 2, 3, 4, 0)

不过我的记法跟你的不一样，我就是记permutation，而且是从0开始。
(1 2)(3 4) 我记为 (1, 0, 3, 2, 4)
(1 2 3)我记为 (1, 2, 0, 3, 4)

You are correct. I forgot the class of (1 2 3 4 5), which is even, and the class of (1 2 3 4), which is odd. So there are 7 conjugacy classes in S_5, with 4 of them in A_5.

[TheMatrix]

I forgot the class of (1 2 3 4 5), which is even, and the class of (1 2 3 4), which is odd. So there are 7 conjugacy classes in S_5, with 4 of them in A_5.

嗯。我也查到了。有一个wiki专门讲有限群的：
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Ele ... g_group:A5

你用什么算的？也是程序吧？

[YWY]

嗯。我也查到了。有一个wiki专门讲有限群的：
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Ele ... g_group:A5

你用什么算的？也是程序吧？

我就是手算的，用到的技巧是：用product of disjoint cycles的方法算共轭运算非常简洁，也非常容易判断谁和谁共轭或不共轭；比如，(1 2 3) and (2 5 4) must belong to the same conjugacy class, because they are both 3 cycles. Similarly, (1 2)(3 4) and (2 5)(3 4) must belong to the same conjugacy class.

[TheMatrix]

我就是手算的，用到的技巧是：用product of disjoint cycles的方法算共轭运算非常简洁，也非常容易判断谁和谁共轭或不共轭；比如，(1 2 3) and (2 5 4) must belong to the same conjugacy class, because they are both 3 cycles. Similarly, (1 2)(3 4) and (2 5)(3 4) must belong to the same conjugacy class.

cycle的方法我一直没有完全搞清楚。

[YWY]

cycle的方法我一直没有完全搞清楚。

这个视频比较短，解释的也算清楚

[verdelite]

你这程序干啥的，是用穷举法找共轭类？

[TheMatrix]

这个视频比较短，解释的也算清楚

嗯。很好。谢谢。

[TheMatrix]

你这程序干啥的，是用穷举法找共轭类？

对。穷举法，电脑最适合干了。

[mitbbsnew]

明明我会Python. 看不懂。

[TheMatrix]

明明我会Python. 看不懂。

这里用了点symmetric group的知识。Symmetric group就是permutation （function）on N objects。写出来就是

(0,1,2,3,4) - 单位元
(3,2,0,1,4) - 看成函数的话就是 (0->3, 1->2, 2->0, 3->1, 4->4)

这样的。共有N!个。可以相乘 - 就是函数的合成， 构成了群。

第一个函数 SymmN，就是写出N个元素的全部permutation。这个小问题放在LeetCode上，肯定不是easy的，至少是medium的。

第二个函数 times，就是permutation的乘法，也就是函数的合成。这在LeetCode上应该也是medium的。

第三个函数 inverse，就是一个permutation的inverse。这也得是medium的。

第四个函数conjugate，就是乘法 hgh^-1。用乘法函数就简单了。

第五个函数 subgroup，是一个permutation的集合生成的子群，也就是以集合中元素各种乘法张成的子群。这个在LeetCode里应该是hard。

最后一个函数 conj_closure，是一个子集在全集中的全部conjugate。

[FoxMe]

我就是手算的，用到的技巧是：用product of disjoint cycles的方法算共轭运算非常简洁，也非常容易判断谁和谁共轭或不共轭；比如，(1 2 3) and (2 5 4) must belong to the same conjugacy class, because they are both 3 cycles. Similarly, (1 2)(3 4) and (2 5)(3 4) must belong to the same conjugacy class.

对。当初学群论的时候，同学们普遍的感觉是并不难，基本是中学排列组合的难度。