DS: “矩阵乘法的最底层，还是排序”，如何理解？
这是一个非常有趣且深刻的说法。它触及了计算机科学和数学中一个核心思想：复杂操作往往可以分解或归结为更基础、更通用的问题。
“矩阵乘法的最底层，还是排序” 这句话，并不是指矩阵乘法的数学定义（行点乘列）本身就是排序，而是指在算法设计和优化层面，一些最高效、最巧妙的矩阵乘法算法，其内核或关键步骤依赖于排序或与排序在计算上等价的操作。
下面我们从几个层面来深入理解这个观点：
1. 从“分而治之”的策略看
现代高性能矩阵乘法（如Strassen算法及其后续发展）的核心思想是分治。它将巨大的矩阵分解成更小的块，然后通过一系列加、减、乘的组合来巧妙地减少乘法次数。
- 排序：最经典、最高效的排序算法（如归并排序、快速排序）也是基于分治 策略。它们将一个大问题（排序一个长列表）分解成小问题（排序子列表），然后再合并结果。
- 矩阵乘法：同样，Strassen算法将两个
n x n 的矩阵乘法，分解为7个 n/2 x n/2 的矩阵乘法和18个矩阵加法。这个过程可以递归进行。
在这个层面上，它们共享同一个算法设计的“灵魂”——分治。这个灵魂是解决许多大规模计算问题的基石。所以，当有人说“最底层是排序”时，他可能是在指它们共享这个最底层的算法范式。
2. 从“规约”的计算复杂性角度看
在计算复杂性理论中，规约 是一个核心概念。如果问题A可以转化为问题B来解决，那么我们就说A可以规约到B。这常常用来证明问题的难度。
- 一个具体的例子： 有一个著名的问题是“计算一个序列中的逆序对数量”（即有多少对
(i, j) 满足 i < j 且 a[i] > a[j]）。这个问题的最优解法（基于归并排序）的时间复杂度是 O(n log n)。
- 关键联系： 研究人员发现，矩阵乘法问题可以规约到逆序对计数问题。这意味着，如果你有一个非常快速的计算逆序对的“黑盒子”，你就可以利用它来构造一个快速的矩阵乘法算法。
这个发现是震撼性的。它直接将一个看似是代数核心问题的矩阵乘法，与一个看似是组合核心问题的排序/逆序对计数联系了起来。从这个角度看，排序（或其变体）的能力，在计算上至少不弱于矩阵乘法。矩阵乘法的“底层”，确实可以建立在类似排序这样的操作之上。
3. 从实际计算和内存访问模式看
在硬件层面（特别是CPU缓存），数据的局部性 对性能有巨大影响。
- 排序：高效的排序算法（如归并排序）在设计时就会考虑数据访问模式，尽量让频繁访问的数据靠近在一起（空间局部性），以更好地利用CPU高速缓存。
- 矩阵乘法：一个朴素的三重循环矩阵乘法，其内存访问模式可能非常低效，会导致大量的缓存未命中，从而极大拖慢速度。
因此，优化矩阵乘法的关键一步就是“重组”或“排序”数据。通过调整循环顺序、使用分块技术，我们实际上是在对计算过程进行“排序”，使得在乘加运算进行时，需要的数据能连续地、成块地从内存加载到缓存中。这个过程，在思想和效果上，与为了高效排序而精心组织数据访问是高度一致的。
总结
“矩阵乘法的最底层，还是排序” 这句话，可以从三个层面理解：
- 算法思想层面：两者都高度依赖于分而治之 这一底层算法设计范式。这是它们高效处理大规模问题的共同“灵魂”。
- 计算复杂性层面：存在理论上的规约，证明矩阵乘法可以转化为类似逆序对计数（排序的核心子问题）的问题。这表明排序在计算能力上是足够强大的基础操作。
- 工程优化层面：为了实现高性能计算，矩阵乘法必须优化其内存访问模式，这个过程本质上是对数据和计算步骤的一种 “排序”或“重组” ，以适配现代计算机的层次化存储结构。
所以，这句话不是一个字面上的数学等式，而是一个深刻的计算哲学观点：在追求计算极致的道路上，不同领域的高效算法最终会趋向于相似的底层原则和操作。排序，作为计算机科学中最基本、最被深入研究的问题之一，其思想和技巧渗透到了许多其他看似不相关的领域，包括像矩阵乘法这样的数值计算核心。
hci 写了： 2025年 10月 22日 14:03
展开说说排序为底层的矩阵乘法？矩阵乘法为核心的计算能取代以arithmetic和logic计算的为核心么？展开说说？
我咋觉得是反过来呢，几何思想取代不了算术和逻辑，最终几何要转成算术和逻辑才能实用。
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