为什么三维空间的旋转是qvq^{-1}, 二维平面只需要rv?

[TheMatrix]

哦对，你还有另一方面的困惑，就是为什么二维的旋转是rv - 两个复数的乘法，而三维的旋转是qvq^-1 - 三个数的乘法。

这个我觉得是数域的特殊性。二维数域（复数）和四维数域（quaternion）的特殊性。再往上就没有了，8维数域（应该）就没有这个性质了。再往上连数域都没有了。

所以你的困惑还是在于不知道它是怎么来的。你知道它怎么来的，就不会认为它们应该具有统一性了。我觉得。

那么quaternion可以用于三维旋转的计算的方法是怎么来的呢？我觉得是从Clifford algebra里来的。本版以前讨论过Clifford algebra，但是并没有讨论到quaternion用于计算三维旋转的方法是怎么从Clifford algebra里导出的。

我也没有想清楚。我想大致的过程是这样：

1. quaternion H 同构于 Cl(3,0)，三维空间生成的Clifford algebra，的偶数subalgebra。三维空间的基矢为 {e₁,e₂,e₃}，那么Cl(3,0)有下面的基矢：
   {
   1,
   e₁,e₂,e₃,
   e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁,
   e₁e₂e₃,
   }
   共8维，而偶subalgebra是
   {
   1,
   e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁,
   }
   共4维，这就是quaternion。

2. 由三维空间生成的Clifford algebra，它的由二维矢量构成的子空间，对三维空间本身，有一个旋转的作用。也就是如果q=e₁e₂，v=e₃，那么qvq^-1是v在三维空间的一个旋转。这里的乘法是Clifford algebra的乘法。这个是怎么来的呢？是因为一个二维Clifford algebra矢量等于两个一维矢量的乘法，而每一个作用在v上等于一个反射，两个反射合在一起等于一个旋转。比如 u=e₁, v=e₃，那么-uvu^-1是v关于u的反射。

3. 三维空间本身可以嵌入Clifford algebra Cl(3,0)，也就是{e₁,e₂,e₃,}这个由一维矢量构成的子空间。但是这个并不是quaternion的{i,j,k}子空间。从quaternion用于旋转的方法看，v可以嵌入quaternion，应该是嵌入{1,e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁,}。所以这是两个不同的嵌入。这两个怎么统一我也没想清楚。

[zeami]

那么quaternion可以用于三维旋转的计算的方法是怎么来的呢？我觉得是从Clifford algebra里来的。本版以前讨论过Clifford algebra，但是并没有讨论到quaternion用于计算三维旋转的方法是怎么从Clifford algebra里导出的。

我也没有想清楚。我想大致的过程是这样：

1. quaternion H 同构于 Cl(3,0)，三维空间生成的Clifford algebra，的偶数subalgebra。三维空间的基矢为 {e₁,e₂,e₃}，那么Cl(3,0)有下面的基矢：
   {
   1,
   e₁,e₂,e₃,
   e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁,
   e₁e₂e₃,
   }
   共8维，而偶subalgebra是
   {
   1,
   e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁,
   }
   共4维，这就是quaternion。

2. 由三维空间生成的Clifford algebra，它的由二维矢量构成的子空间，对三维空间本身，有一个旋转的作用。也就是如果q=e₁e₂，v=e₃，那么qvq^-1是v在三维空间的一个旋转。这里的乘法是Clifford algebra的乘法。这个是怎么来的呢？是因为一个二维Clifford algebra矢量等于两个一维矢量的乘法，而每一个作用在v上等于一个反射，两个反射合在一起等于一个旋转。比如 u=e₁, v=e₃，那么-uvu^-1是v关于u的反射。

3. 三维空间本身可以嵌入Clifford algebra Cl(3,0)，也就是{e₁,e₂,e₃,}这个由一维矢量构成的子空间。但是这个并不是quaternion的{i,j,k}子空间。从quaternion用于旋转的方法看，v可以嵌入quaternion，应该是嵌入{1,e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁,}。所以这是两个不同的嵌入。这两个怎么统一我也没想清楚。

完美错过了clifford algebra的讨论，最近在研究图形学才开始看quaternion

v = ai + bj + ck，表示3维空间的点/向量(a, b, c)

矩阵表示也可以，

1 = I_{2x2}
i =
j = [0 1
-1 0]
k = [0 i
i 0]

@苍井吱

[FoxMe]

我也没想清楚。本来是Cl(3,0)作用在实3维空间上，可以做旋转。但是Cl(3,0)是8维的，效率低。

想起来了，能做实3维空间旋转的，只能是even subalgebra，即quaternion.

但是这个embedding,还是没想明白。

那么quaternion可以用于三维旋转的计算的方法是怎么来的呢？我觉得是从Clifford algebra里来的。本版以前讨论过Clifford algebra，但是并没有讨论到quaternion用于计算三维旋转的方法是怎么从Clifford algebra里导出的。

我也没有想清楚。我想大致的过程是这样：

1. quaternion H 同构于 Cl(3,0)，三维空间生成的Clifford algebra，的偶数subalgebra。三维空间的基矢为 {e₁,e₂,e₃}，那么Cl(3,0)有下面的基矢：
   {
   1,
   e₁,e₂,e₃,
   e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁,
   e₁e₂e₃,
   }
   共8维，而偶subalgebra是
   {
   1,
   e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁,
   }
   共4维，这就是quaternion。

2. 由三维空间生成的Clifford algebra，它的由二维矢量构成的子空间，对三维空间本身，有一个旋转的作用。也就是如果q=e₁e₂，v=e₃，那么qvq^-1是v在三维空间的一个旋转。这里的乘法是Clifford algebra的乘法。这个是怎么来的呢？是因为一个二维Clifford algebra矢量等于两个一维矢量的乘法，而每一个作用在v上等于一个反射，两个反射合在一起等于一个旋转。比如 u=e₁, v=e₃，那么-uvu^-1是v关于u的反射。

3. 三维空间本身可以嵌入Clifford algebra Cl(3,0)，也就是{e₁,e₂,e₃,}这个由一维矢量构成的子空间。但是这个并不是quaternion的{i,j,k}子空间。从quaternion用于旋转的方法看，v可以嵌入quaternion，应该是嵌入{1,e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁,}。所以这是两个不同的嵌入。这两个怎么统一我也没想清楚。

[zeami]

我也没想清楚。本来是Cl(3,0)作用在实3维空间上，可以做旋转。但是Cl(3,0)是8维的，效率低。

您给降维算算。。人民群众好奇了。。

[mifepristone]

物理里面都是这么用的，3x3是旋转，最后一个对角线元素叫做booster，代表平移
楼主的问题现在只是旋转，所以看上去很怪

所以cl(3,1)表示3维空间的物体旋转加平移

那么quaternion可以用于三维旋转的计算的方法是怎么来的呢？我觉得是从Clifford algebra里来的。本版以前讨论过Clifford algebra，但是并没有讨论到quaternion用于计算三维旋转的方法是怎么从Clifford algebra里导出的。

我也没有想清楚。我想大致的过程是这样：

1. quaternion H 同构于 Cl(3,0)，三维空间生成的Clifford algebra，的偶数subalgebra。三维空间的基矢为 {e₁,e₂,e₃}，那么Cl(3,0)有下面的基矢：
   {
   1,
   e₁,e₂,e₃,
   e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁,
   e₁e₂e₃,
   }
   共8维，而偶subalgebra是
   {
   1,
   e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁,
   }
   共4维，这就是quaternion。

2. 由三维空间生成的Clifford algebra，它的由二维矢量构成的子空间，对三维空间本身，有一个旋转的作用。也就是如果q=e₁e₂，v=e₃，那么qvq^-1是v在三维空间的一个旋转。这里的乘法是Clifford algebra的乘法。这个是怎么来的呢？是因为一个二维Clifford algebra矢量等于两个一维矢量的乘法，而每一个作用在v上等于一个反射，两个反射合在一起等于一个旋转。比如 u=e₁, v=e₃，那么-uvu^-1是v关于u的反射。

3. 三维空间本身可以嵌入Clifford algebra Cl(3,0)，也就是{e₁,e₂,e₃,}这个由一维矢量构成的子空间。但是这个并不是quaternion的{i,j,k}子空间。从quaternion用于旋转的方法看，v可以嵌入quaternion，应该是嵌入{1,e₁e₂,e₂e₃,e₃e₁,}。所以这是两个不同的嵌入。这两个怎么统一我也没想清楚。

[zeami]

物理里面都是这么用的，3x3是旋转，最后一个对角线元素叫做booster，代表平移
楼主的问题现在只是旋转，所以看上去很怪

所以cl(3,1)表示3维空间的物体旋转加平移

平移自动给脑补上，不需要额外描述。。

[rgg]

统一描述是旋转是二次反射。反射是更基本的操作。
所以都可以用两侧共轭相乘表示。

[苍井吱]

我上面讲了个q = i的例子能很好的表现怎么旋转的

v被分成了两个分量, v1 = a + bi 和v2 = cj + dk

i跟v1是可以交换的，所以i * v1 * -i = v1，对这个分量没有作用

iv2把v2沿着i轴转了90度，v2(-i)再同样旋转了90度

我的想法是把2D的r和3D4D的q看做旋转算子， applied on v

一般方向上的旋转可以把旋转轴先Tq = i，转到i轴上，在这个新坐标下转完再做坐标变换转回去，道理一样

[苍井吱]

统一描述是旋转是二次反射。反射是更基本的操作。
所以都可以用两侧共轭相乘表示。

前面一个网友说4D空间里面的旋转qvp，8个自由度，在3D空间里面qvq^{-1}或者qvq^* (要求q = 1)，4个自由度

[Caravel]

统一描述是旋转是二次反射。反射是更基本的操作。
所以都可以用两侧共轭相乘表示。

是啊，上次讨论的重点就是反射和旋转,看来大家都忘记了

[FoxMe]

就是说：{e1,e2,e3}怎么变成{e1e2,e2e3,e3e1}（也就是{i,j,k}）了？

我也没想清楚。本来是Cl(3,0)作用在实3维空间上，可以做旋转。但是Cl(3,0)是8维的，效率低。

想起来了，能做实3维空间旋转的，只能是even subalgebra，即quaternion.

但是这个embedding,还是没想明白。

[Caravel]

我上面讲了个q = i的例子能很好的表现怎么旋转的

v被分成了两个分量, v1 = a + bi 和v2 = cj + dk

i跟v1是可以交换的，所以i * v1 * -i = v1，对这个分量没有作用

iv2把v2沿着i轴转了90度，v2(-i)再同样旋转了90度

我的想法是把2D的r和3D4D的q看做旋转算子， applied on v

一般方向上的旋转可以把旋转轴先Tq = i，转到i轴上，在这个新坐标下转完再做坐标变换转回去，道理一样

二维的通用形式也是qvq-1, 但是可以简化成Rv, 值得注意得是q旋转的是theta / 2。具体推导你可以问问AI

[sneezesnake]

二维平面的这个操作不也是矩阵乘以向量吗？ RV。 R 是 2×3 矩阵 ，v 是 2×1 vector 不是吗？

[Caravel]

就是说：{e1,e2,e3}怎么变成{e1e2,e2e3,e3e1}（也就是{i,j,k}）了？

geometry product啊

Clifford algebra里面

反射是 xvx-1

两次反射就是

yx v x-1y-1

yx几何积，就得到even algebra，就是quaternion q

[苍井吱]

二维的通用形式也是qvq-1, 但是可以简化成Rv, 值得注意得是q旋转的是theta / 2。具体推导你可以问问AI

不会是q = a + bi + 0j + 0k， v = mj + nk吧，如果这样就没意思了

[TheMatrix]

geometry product啊

Clifford algebra里面

反射是 xvx-1

两次反射就是

yx v x-1y-1

yx几何积，就得到even algebra，就是quaternion q

但是v应该对应的是{e1,e2,e3}构成的subspace，而这并不是quaternion。现在这个gap就在这。

[Caravel]

但是v应该对应的是{e1,e2,e3}构成的subspace，而这并不是quaternion。现在这个gap就在这。

用原始的{e1,e2,e3} vector和几何积规则，完全可以实现旋转

问了一下Gemini说

纯四元数，同构于这种普通三维vector，所以v也可以用四元数表示

[Caravel]

不会是q = a + bi + 0j + 0k， v = mj + nk吧，如果这样就没意思了

二维q只有两项

[苍井吱]

二维q只有两项

Gemini:

"To represent a 2D rotation using the \(qvq^{-1}\) form, you must embed the 2D plane into 3D space. The rotation is then treated as a 3D rotation about an axis perpendicular to the 2D plane."

不会是这个意思吧

如果在复数域，交换律qvq^{-1} = v，什么也没干

[Caravel]

Gemini:

"To represent a 2D rotation using the \(qvq^{-1}\) form, you must embed the 2D plane into 3D space. The rotation is then treated as a 3D rotation about an axis perpendicular to the 2D plane."

不会是这个意思吧

如果在复数域，交换律qvq^{-1} = v，什么也没干