Galois group representation

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ChatGPT好像搞得有点太高深了。应该可以简化一下。

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先复习一下modular form。

modular form是定义在复平面上半平面上的解析函数。复平面上半平面是 H = { z = x + iy: y > 0 }。

为什么是上半平面呢？这是有来历的，但是我也不太清楚。

为什么叫modular呢？因为模块化的。定义一小块之后，其余就定下来了。但也不是简单的periodic，而是有一个和格点有关的群，可以作用在这个函数上。和格点有关的群是SL(2,Z)，或者它的子群。假设 2X2 matrix σ = [a b; c d] ∈ SL(2,Z)，那么，

f(σz)=f((az+b)/(cz+d))=f(z)/(cz+d)^k

如果 σ = [1 1; 0 1]，也就是σ(z)=z+1的话，cz+d=1，也就是f(z+1)=f(z)。所以这的确是一个periodic function，但不是块状periodic，而是条状periodic，周期为1。因此可以做傅里叶展开：

f(z)= Σ a_nqⁿ where q = e^{i 2π z}

这也叫 q-expansion。

另一方面，z --> q 这个坐标变换把复平面上半平面 x ∈ [0,1] 之间的一条区域，变成了单位圆之内的区域。periodic保证变换后仍然解析。但是 y --> +∞ 时，q --> 0。要想单位圆之内全部解析的话，q = 0点也必须解析。对应回 z 变量的话，就变成了，当 y --> +∞ 时，f(z) bounded。

从这个 z --> q 的坐标变换也可以得出傅里叶展开。因为作为q函数它在单位圆内解析，所以就有泰勒展开，q-expansion就是泰勒展开。

所以modular form的定义是：f: H --> C 解析。并且，
1，存在一个和格点有关的群Γ ⊆ SL(2,Z)。如果σ = [a b; c d] ∈ Γ，那么 f(σz)=f(z)/(cz+d)^k。
2，f(z) bounded as y --> +∞。

第一条保证了modular。第二条保证了做 z --> q 变换后在单位圆内解析。

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继续理一理。东西越来越多了。

modular form的基本例子是Eisenstein series。

for a z in the upper half complex plane,
E_2k(z) = Σ 1/(m+nz)^2k, sum over (m,n) ∈ Z²\{(0,0)}

格点有了，就是Z²\{(0,0)}。

格点群是SL(2,Z)，又叫modular group，也就是 2X2 matrix [a b; c d] with integer entries and ad-bc=1.

这个怎么理解呢？

SL(2,Z) 把一个格点变成另一个格点，而且是一一映射。整个lattice就是Z²，而每一个SL(2,Z)是一个Z²的自同构。所以这是一个Z²的automorphism group。

为什么是上半平面呢？因为E_2k(z)这个函数的解析性不能越过实数轴，要不就是上半，要不就是下半。

格点群不光作用在格点上，也可以作用在上半平面：γ(z) = (az+b)/(cz+d)。这个叫Mobius变换。也叫fractional linear transformation。

代入E_2k发现：E_2k(γ(z)) = (cz+d)^2k E_2k(z)。

Eisenstein series 都是偶数，因为奇数的都等于0。而且k>1，从2开始，也就是E₄, E₆, ...

k=1的时候特殊，也就是E₂，不完全满足E_2k(γ(z))的变化方式。但是也有用。

[FoxMe]

哦，modular form --> elliptic curve --> Galois representation, 二者是通过椭圆曲线联系起来的。

[TheMatrix]

哦，modular form --> elliptic curve --> Galois representation, 二者是通过椭圆曲线联系起来的。

好像是。好像也有直接的方法。我还没理清楚。

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继续理一理。东西越来越多了。

modular form的基本例子是Eisenstein series。

for a z in the upper half complex plane,
E_2k(z) = Σ 1/(m+nz)^2k, sum over (m,n) ∈ Z²\{(0,0)}

格点有了，就是Z²\{(0,0)}。

格点群是SL(2,Z)，又叫modular group，也就是 2X2 matrix [a b; c d] with integer entries and ad-bc=1.

这个怎么理解呢？

SL(2,Z) 把一个格点变成另一个格点，而且是一一映射。整个lattice就是Z²，而每一个SL(2,Z)是一个Z²的自同构。所以这是一个Z²的automorphism group。

为什么是上半平面呢？因为E_2k(z)这个函数的解析性不能越过实数轴，要不就是上半，要不就是下半。

格点群不光作用在格点上，也可以作用在上半平面：γ(z) = (az+b)/(cz+d)。这个叫Mobius变换。也叫fractional linear transformation。

代入E_2k发现：E_2k(γ(z)) = (cz+d)^2k E_2k(z)。

Eisenstein series 都是偶数，因为奇数的都等于0。而且k>1，从2开始，也就是E₄, E₆, ...

k=1的时候特殊，也就是E₂，不完全满足E_2k(γ(z))的变化方式。但是也有用。

modular最重要的特征是有一个lattice。

Elliptic curve也有一个lattice。

Elliptic curve 是 y²=x³+ax+b。这是Weierstrass 标准型。

这里也有一个lattice。它的lattice是什么呢？

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modular最重要的特征是有一个lattice。

Elliptic curve也有一个lattice。

Elliptic curve 是 y²=x³+ax+b。这是Weierstrass 标准型。

这里也有一个lattice。它的lattice是什么呢？

E ≅ C/Λ，这是结论。所以这里确实有一个lattice Λ。

这是个什么同构？

肯定是个拓扑同构，因为E是二维manifold，C/Λ也是二维manifold。它们都是Torus，所以肯定有拓扑同构。作为complex manifold也是同构的。

也肯定有group同构，E是一个group。C/Λ也是一个group - 这就是一个加法群。所以它们之间也是群同构。

而且这两个同构是同时的：定义一个函数，f: E --> C/Λ，这个函数既是拓扑homeomorphism，也是group isomorphism。

但是E还是一个algebraic variety，也就是代数方程的零点。C/Λ是代数方程的零点吗？有algebraic variety结构吗？

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E ≅ C/Λ，这是结论。所以这里确实有一个lattice Λ。

这是个什么同构？

肯定是个拓扑同构，因为E是二维manifold，C/Λ也是二维manifold。它们都是Torus，所以肯定有拓扑同构。作为complex manifold也是同构的。

也肯定有group同构，E是一个group。C/Λ也是一个group - 这就是一个加法群。所以它们之间也是群同构。

而且这两个同构是同时的：定义一个函数，f: E --> C/Λ，这个函数既是拓扑homeomorphism，也是group isomorphism。

但是E还是一个algebraic variety，也就是代数方程的零点。C/Λ是代数方程的零点吗？有algebraic variety结构吗？

所有的elliptic curve都是这么来的，都等于 C/Λ for some lattice C/Λ。

不过这个lattice和Eisenstein series里面的lattice有点不同。Eisenstein series里的lattice就是Z²，可以说是标准lattice。而elliptic curve 的lattice Λ是复平面里的lattice。是 Z² --> C group homomorphism的image。

而且，Λ可以normalize，其中一个edge，或者一个generator，取1。另一个generator τ，取在复平面上半平面。所以一个lattice可以用一个复数τ代表。这个复数τ在复平面上半平面取值。

对于一个lattice τ，定义一个Weierstrass p-function，是复数z的函数：

p(z;τ)=1/z²+Σ(1/(z-λ)²-1/λ²)

λ是Λ除0之外的格点。

那么有：p'²=4p³-g₂p-g₃

其中p和p'是z的函数，但是依赖于lattice τ。g₂，g₃是z的常数，但是依赖于lattice τ。

所以可以说g₂,g₃是τ的函数。而τ是复平面上半平面的复数。

turns out
g₂(τ) = 60 E₄(τ)
g₃(τ) = 140 E₆(τ)

它们是Eisenstein series的前两个E₄和E₆。是modular form of weight 4 and 6。

(全部lattice) --> (全部 Weierstrass p-function) --> (全部Elliptic curve)
τ --> p(z;τ) --> p'²=4p³-g₂p-g₃

g₂,g₃是τ的函数，也可以说是全部lattice空间上的函数。是一个modular form。

[FoxMe]

这两种格不一样。Modular form里的格是SL_2(Z),椭圆曲线里的格没有这个限制。

modular最重要的特征是有一个lattice。

Elliptic curve也有一个lattice。

Elliptic curve 是 y²=x³+ax+b。这是Weierstrass 标准型。

这里也有一个lattice。它的lattice是什么呢？

[FoxMe]

C/Λ通过Weierstrass P-function和它的导数，就变成椭圆曲线上的点。但不知道C/Λ本身能不能叫variety.

E ≅ C/Λ，这是结论。所以这里确实有一个lattice Λ。

这是个什么同构？

肯定是个拓扑同构，因为E是二维manifold，C/Λ也是二维manifold。它们都是Torus，所以肯定有拓扑同构。作为complex manifold也是同构的。

也肯定有group同构，E是一个group。C/Λ也是一个group - 这就是一个加法群。所以它们之间也是群同构。

而且这两个同构是同时的：定义一个函数，f: E --> C/Λ，这个函数既是拓扑homeomorphism，也是group isomorphism。

但是E还是一个algebraic variety，也就是代数方程的零点。C/Λ是代数方程的零点吗？有algebraic variety结构吗？

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E ≅ C/Λ，这是结论。所以这里确实有一个lattice Λ。

这是个什么同构？

肯定是个拓扑同构，因为E是二维manifold，C/Λ也是二维manifold。它们都是Torus，所以肯定有拓扑同构。作为complex manifold也是同构的。

也肯定有group同构，E是一个group。C/Λ也是一个group - 这就是一个加法群。所以它们之间也是群同构。

而且这两个同构是同时的：定义一个函数，f: E --> C/Λ，这个函数既是拓扑homeomorphism，也是group isomorphism。

但是E还是一个algebraic variety，也就是代数方程的零点。C/Λ是代数方程的零点吗？有algebraic variety结构吗？

这不是algebraic variety同构。因为这个同构是通过Weierstrass p-function来的：

fix a Λ, or a normalized Λ, given by a τ ∈ H, the upper half complex plane,
f: z ∈ C/Λ -------------------> (p,p') ∈ E

所以这不是一个有理变换。

[TheMatrix]

C/Λ通过Weierstrass P-function和它的导数，就变成椭圆曲线上的点。但不知道C/Λ本身能不能叫variety.

对。C/Λ可能可以另外赋予variety结构，但是这个变换本身不是有理变换。

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所有的elliptic curve都是这么来的，都等于 C/Λ for some lattice C/Λ。

不过这个lattice和Eisenstein series里面的lattice有点不同。Eisenstein series里的lattice就是Z²，可以说是标准lattice。而elliptic curve 的lattice Λ是复平面里的lattice。是 Z² --> C group homomorphism的image。

而且，Λ可以normalize，其中一个edge，或者一个generator，取1。另一个generator τ，取在复平面上半平面。所以一个lattice可以用一个复数τ代表。这个复数τ在复平面上半平面取值。

对于一个lattice τ，定义一个Weierstrass p-function，是复数z的函数：

p(z;τ)=1/z²+Σ(1/(z-λ)²-1/λ²)

λ是Λ除0之外的格点。

那么有：p'²=4p³-g₂p-g₃

其中p和p'是z的函数，但是依赖于lattice τ。g₂，g₃是z的常数，但是依赖于lattice τ。

所以可以说g₂,g₃是τ的函数。而τ是复平面上半平面的复数。

turns out
g₂(τ) = 60 E₄(τ)
g₃(τ) = 140 E₆(τ)

它们是Eisenstein series的前两个E₄和E₆。是modular form of weight 4 and 6。

(全部lattice) --> (全部 Weierstrass p-function) --> (全部Elliptic curve)
τ --> p(z;τ) --> p'²=4p³-g₂p-g₃

g₂,g₃是τ的函数，也可以说是全部lattice空间上的函数。是一个modular form。

SL(2,Z)，又叫modular group，实际上就是Z²的automorphism group。Z² --> Z²，group automorphism。

Z²本身就是一个lattice。而 Z² --> C 的group homomorphism的image，是C中的lattice，这就是前面的Λ。

SL(2,Z)可以作用在Z²上，通过Z² --> C这个homomorphism，就可以作用在Λ上。

Z² --> C这个homomorphism取决于两点(1,0)和(0,1)的像。如果把旋转和缩放看作是相同的lattice的话，那么可以固定(1,0)的像为1 ∈ C，那么(0,1)的像 τ ∈ C 就决定了这个lattice。如果把反射也看作是相同的lattice的话，那么可以只取 τ ∈ H，复平面上半平面。这也是H的来历。

也就是 τ，或者 (τ,1)，决定了一个lattice。SL(2,Z)对lattice的作用取决于如何作用在(τ,1)上，然后第二个数再归一化，就得到了SL(2,Z)如何总用在H上：τ --> (aτ+b)/(cτ+d)。这也是fraction linear transformation的一种来历。fraction linear transformation还可以从C² --> CP¹的projective space来，所以也可以叫projective linear transformation。

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SL(2,Z)，又叫modular group，实际上就是Z²的automorphism group。Z² --> Z²，group automorphism。

Z²本身就是一个lattice。而 Z² --> C 的group homomorphism的image，是C中的lattice，这就是前面的Λ。

SL(2,Z)可以作用在Z²上，通过Z² --> C这个homomorphism，就可以作用在Λ上。

Z² --> C这个homomorphism取决于两点(1,0)和(0,1)的像。如果把旋转和缩放看作是相同的lattice的话，那么可以固定(1,0)的像为1 ∈ C，那么(0,1)的像 τ ∈ C 就决定了这个lattice。如果把反射也看作是相同的lattice的话，那么可以只取 τ ∈ H，复平面上半平面。这也是H的来历。

也就是 τ，或者 (τ,1)，决定了一个lattice。SL(2,Z)对lattice的作用取决于如何作用在(τ,1)上，然后第二个数再归一化，就得到了SL(2,Z)如何总用在H上：τ --> (aτ+b)/(cτ+d)。这也是fraction linear transformation的一种来历。fraction linear transformation还可以从C² --> CP¹的projective space来，所以也可以叫projective linear transformation。

而 m+nτ 正是 Z² --> C 的一个实例：给定一个 τ ∈ H，m+nτ就是C中的一个lattice。

所以Eisenstein series 也可以写成 E(τ) = Σ 1/ω^2k，ω runs through {m+nτ} lattice except {0}。

这个Weierstrass p-function的定义就相似了。但是也有不同：

p(z;τ) = 1/z² + Σ (1/(z-ω)²-1/ω²)

相同的是都有一个lattice，由τ给出，而ω是lattice 格点。

Eisenstein series是lattice本身的函数。

而Weierstrass p-function以lattice τ为参数，是z的函数，也可以说是二元函数z和τ的函数。

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而 m+nτ 正是 Z² --> C 的一个实例：给定一个 τ ∈ H，m+nτ就是C中的一个lattice。

所以Eisenstein series 也可以写成 E(τ) = Σ 1/ω^2k，ω runs through {m+nτ} lattice except {0}。

这个Weierstrass p-function的定义就相似了。但是也有不同：

p(z;τ) = 1/z² + Σ (1/(z-ω)²-1/ω²)

相同的是都有一个lattice，由τ给出，而ω是lattice 格点。

Eisenstein series是lattice本身的函数。

而Weierstrass p-function以lattice τ为参数，是z的函数，也可以说是二元函数z和τ的函数。

p-function是一种canonical构造，也就是没有什么这样的p-function，那样的p-function，只有唯一的一种构造方式。只决定于lattice τ。也可以写成 τ ---> p_τ。p_τ是一个z的函数 p_τ(z)。

而有了p_τ就有p'_τ，导函数，复导数函数。这都是唯一的：τ ---> p_τ ---> p'_τ。所以 τ ---> (p_τ,p'_τ)也是唯一的。

而(p_τ,p'_τ)决定一个集合：{(p_τ(z),p'_τ(z)): z ∈ C/Λ}，这是一个C²的子集。而它正是一个elliptic curve的零点集合：y²=4x³-g₂x-g₃。

我们说的elliptic curve有两重含义，一个是指这个零点集合，一个是指这个三次方程。

以零点集合为准。因为两个不同的三次方程可以有相同的零点集合，而这两个方程被认为是同一个elliptic curve。这两个方程之间，一定有有理变换，在三次方程的情况下，应该是fractional linear transformation，也就是(x',y')=(ax+by+c/dx+ey+f,gx+hy+i/jx+ky+l)的方程换元。这个变换对应零点集合的内部自变换，也叫有理变换。这也是为什么代数几何研究有理变换 - 因为以零点集合为准。

另一方面lattice这边，以零点集合为准的话，同样的，并不是所有的τ都给出不同的零点集合。两个τ如果可以通过SL(2,Z)相互变换得到的话，那么它们给出相同的零点集合。这正好对应方程那边的有理变换的换元法。。。应该。

也就是说并不是所有上半平面H上的τ，都决定不同的elliptic curve（零点集合）。而是不同的τ的SL(2,Z)等价类决定不同的elliptic curve。所以就出现一个 H/SL(2,Z) 的概念。这个东西就是 moduli space，也就是parameter space，the space that parametrize elliptic curves。在elliptic curve的情况下，moduli space 本身也是一个curve - C中的一个曲面就叫一个curve，因为它是复一维的 - 这个叫modular curve。