Galois group representation

[TheMatrix]

没用Riemann-Roch。用的是这个定理。这个定理用了对 f'/f 的积分。据说比较简单：



感觉不是很简单。

v_τ就是f在τ点的degree of zero。也就是在τ点泰勒展开，第一个非零项的degree。如果f(τ) != 0，那么泰勒展开有一个常数项，degree为0，那么v_τ=0。

把12乘到左边，打开summation，左边就是这么几项：
1，12 * degree of zero at i∞。
2，6 * degree of zero at i。
3，4 * degree of zero at ρ。
4，12 * degree of zero at 其他地方。

这些项相加，应该等于k，也就是modular form的weight。

那么第一个结论是，没有weight k < 12 的cusp form。因为cusp form的定义是zero at i∞，degree至少为1。所以cusp form只能从k=12以上才开始有。

第二个结论是，k=4的时候，只能有一个零点，在ρ。ρ是一个特殊点，在fundamental domain的左下角。右下角也有一个点，是ρ+1，也就是Tρ，T是translation。Tρ=Sρ，S是z --> -1/z的变换。ρ是Tρ=Sρ的唯一点。

另外，后面我们知道k=4时，只有一个modular form，就是Eisenstein series G₄。也就是说
G₄(ρ)=Σ 1/(m+nρ)⁴ = 0

这容易吗？好像也不容易。

第三个结论是，k=6时，只能有一个零点，在i。也就是Eisenstein series G₆，
G₆(i)=Σ 1/(m+ni)⁶ = 0

[TheMatrix]

第三个结论是，k=6时，只能有一个零点，在i。也就是Eisenstein series G₆，
G₆(i)=Σ 1/(m+ni)⁶ = 0

也就是Gauss integer的倒数的6次方和，等于0。

[TheMatrix]

没用Riemann-Roch。用的是这个定理。这个定理用了对 f'/f 的积分。据说比较简单：



感觉不是很简单。

我知道e_i=2和e_ρ=3这两个数是怎么来的了：



ρ是fundamental domain上的两个尖点，红色圆圈之中的。而i是绿色圆圈那点。如果绕fundamental domain边界积分的话，

绕ρ点，从扇形的角度看，相当于只绕了1/6，但是要加上另一个ρ点，也就是ρ+1点。也就是两个1/6，等于1/3。也就是总共绕了1/3圈。

而绕i点，它一半露在外面，所以相当于绕了1/2圈。

所以一个除以3一个除以2。

呵呵。我感觉有点像那个笑话：

学生问老师：“我切蛋糕分三份，每份1/3，也就是0.333，三份加在一起才0.999，那剩下的0.001哪去了？”。
老师说：“你再看看你刀上有什么？”

[TheMatrix]

我知道e_i=2和e_ρ=3这两个数是怎么来的了：



ρ是fundamental domain上的两个尖点，红色圆圈之中的。而i是绿色圆圈那点。如果绕fundamental domain边界积分的话，

绕ρ点，从扇形的角度看，相当于只绕了1/6，但是要加上另一个ρ点，也就是ρ+1点。也就是两个1/6，等于1/3。也就是总共绕了1/3圈。

而绕i点，它一半露在外面，所以相当于绕了1/2圈。

所以一个除以3一个除以2。

呵呵。我感觉有点像那个笑话：

学生问老师：“我切蛋糕分三份，每份1/3，也就是0.333，三份加在一起才0.999，那剩下的0.001哪去了？”。
老师说：“你再看看你刀上有什么？”

这个可能不对。有点关系，但是不完全能解释。

还有一个解释：i不是一个cusp，但是平方之后是cusp。ρ也不是cusp，但是立方之后是cusp。所以i的零点degree要除以2，ρ的零点degree要除以3。

cusp就是i∞能够通过SL(2,Z)变换到的点，是实数轴上的有理数点。所有的有理数点都是cusp。i²=-1，是有理数，所以是cusp。ρ³=1，是有理数，所以是cusp。

这不是证明。这只是思考方向。

另一个方向。考虑SL(2,Z)的两个generator，T和S。T: z --> z+1，S: z --> -1/z。

i是一个特殊点：Si=i，因为-1/i=i。所以modular form f有，f(i)=f(Si)=i^kf(i)。也就是f(i)=0 or i^k=1, that is, k=4n。

ρ也是一个特殊点：Sρ=ρ+1=Tρ。所以f(Sρ)=ρ^kf(ρ)=f(ρ+1)=f(ρ)。也就是f(ρ)=0 or ρ^k=1, that is, k=3n。

[TheMatrix]

没用Riemann-Roch。用的是这个定理。这个定理用了对 f'/f 的积分。据说比较简单：



感觉不是很简单。

右边的k/12是这么来的：



对f'/f积分，路径为绕一个fundamental domain。可以把路径分成4份。路径L,R，路径①,②。

f'/f在路径L和R上值相等，方向相反，所以抵消：∫_L+∫_Rf'/f dz = 0。

路径1和路径2正好在单位圆上，沿y轴对称点之间的关系是z --> -1/z，也就是z --> Sz的关系。

也就是，f(z) for z on ② = f(Sz) for z on ①。f'/f on ② = (d/dz)f(Sz)/f(Sz) on ①

用f的modularity，有f(Sz)=z^kf(z)。
(d/dz)f(Sz)=kz^k-1f(z)+z^kf'(z)。
(d/dz)f(Sz)/f(Sz)=k/z+f'/f

①和②路径积分上f'/f的部分相互抵消。剩下k/z在其中一个上积分，等于k/12。

[randomatrices]

菲尔兹奖Richard E Borcherds有一个短课程for Modular forms

Henri Cohen的书好像是一本经典教材。下面是他的一个简写本：

https://arxiv.org/pdf/1809.10907

[TheMatrix]

我知道e_i=2和e_ρ=3这两个数是怎么来的了：



ρ是fundamental domain上的两个尖点，红色圆圈之中的。而i是绿色圆圈那点。如果绕fundamental domain边界积分的话，

绕ρ点，从扇形的角度看，相当于只绕了1/6，但是要加上另一个ρ点，也就是ρ+1点。也就是两个1/6，等于1/3。也就是总共绕了1/3圈。

而绕i点，它一半露在外面，所以相当于绕了1/2圈。

所以一个除以3一个除以2。

呵呵。我感觉有点像那个笑话：

学生问老师：“我切蛋糕分三份，每份1/3，也就是0.333，三份加在一起才0.999，那剩下的0.001哪去了？”。
老师说：“你再看看你刀上有什么？”

这个argument看起来是对的。



把ρ点放大。也就是如果ρ有一个零点的话，f'/f在ρ点相当于n/z。n=degree of 0。

也就是积分路径穿过一个simple pole，本来是不能积分的，要考虑瑕积分。看穿过的角度，正好是圆周的1/6。所以路径直接穿过pole的瑕积分，等于绕整个圆周积分的1/6。再加上ρ点的对称点，也就是ρ+1点。两个1/6，也就是1/3。

i点如果有零点的话，路径穿过一半，所以是1/2。

其他点：
左边竖线和右边竖线，如果有零点的话，各穿过一半，加起来等于1。
圆周上除了i和ρ的其他点，是关于y轴对称的，如果有零点的话，每个点都有一个对应点。各穿过一半，加起来等于1。

I buy this argument.

i∞点可能需要更好的说明。

[TheMatrix]

菲尔兹奖Richard E Borcherds有一个短课程for Modular forms

谢谢。

这个人的课我会看的。以前看过一个他讲的Dirichlet character的课。讲得很好。

[TheMatrix]

谢谢。

这个人的课我会看的。以前看过一个他讲的Dirichlet character的课。讲得很好。

看了3课。worked out Eisenstein series Fourier coefficients.

讲得很好。

[TheMatrix]

看了3课。worked out Eisenstein series Fourier coefficients.

讲得很好。

全看完了！

确实很不错。看太快了。还需要消化消化。

[TheMatrix]

从这段来看，和modular form 有关的 Galois representation都是通过elliptic curve来的。因为只提到GL(2,Q_p)和GL(2,C)，而这些应该是通过elliptic curve的Tate module出现的。

问了一下ChatGPT，它倒是给出了一个不同的Galois group action: Gal(Q*/Q) acts on cusp form f。

假设 cusp form f 有傅里叶展开：f(z) = Σ a_n qⁿ，
假设 σ ∈ Gal(Q*/Q)，
then σ: f --> f_σ, f_σ(z) = Σ σ(a_n) qⁿ。

看起来有道理，因为据说cusp form的傅里叶系数一般是algebraic number，这个在视频中也提到了。

但是我看不出f_σ仍然能是modular form。ChatGPT也问不出所以然。

[TheMatrix]

再用这个证明 T_pT_q = T_qT_p。


代入进去就很容易发现，p和q的顺序不影响傅里叶系数。所以就有了T_pT_q = T_qT_p。

因此就有了Hecke operator T_n对任意正整数n的定义。

这个地方我想简单了。

我想成了 T_mn := T_mT_n。defined to be T_mT_n。

这不对。T_mn有另外的定义方式。至于它等不等于T_mT_n，要证明。证明之后发现，当gcd(m,n)=1，也就是m和n互素时，T_mn = T_mT_n。

主要是因为T_mn的定义太麻烦了。虽然也是从T_p（p为素数）扩展上去的。里面用到了因子，而合数的因子比较麻烦。所以我想当然了。

但是，上升到Hecke algebra的时候，这两者又相同了。

Hecke algebra是Z-algebra generated by T_n，同时它也是Z-algebra generated by T_p。

所以在Hecke algebra的层面上，我简单的定义T_mn := T_mT_n，也并没有少什么。

Z-algebra on T_n，就是 Z[T_n]，也就是{T_n}以及各种相乘的单项式的集合，的有限integer linear combination。

Z-algebra on T_p，也是{T_p}以及各种相乘的单项式的集合，的有限integer linear combination。而按我想简单了的定义，它正好是{T_n}集合。所以Z-algebra就是{T_n}的有限integer linear combination。

它俩为什么会一样呢？因为有这个公式：
T_pⁿ = T_pT_p^n-1 - p^k-1T_p^n-2

[TheMatrix]

这个地方我想简单了。

我想成了 T_mn := T_mT_n。defined to be T_mT_n。

这不对。T_mn有另外的定义方式。至于它等不等于T_mT_n，要证明。证明之后发现，当gcd(m,n)=1，也就是m和n互素时，T_mn = T_mT_n。

主要是因为T_mn的定义太麻烦了。虽然也是从T_p（p为素数）扩展上去的。里面用到了因子，而合数的因子比较麻烦。所以我想当然了。

但是，上升到Hecke algebra的时候，这两者又相同了。

Hecke algebra是Z-algebra generated by T_n，同时它也是Z-algebra generated by T_p。

所以在Hecke algebra的层面上，我简单的定义T_mn := T_mT_n，也并没有少什么。

Z-algebra on T_n，就是 Z[T_n]，也就是{T_n}以及各种相乘的单项式的集合，的有限integer linear combination。

Z-algebra on T_p，也是{T_p}以及各种相乘的单项式的集合，的有限integer linear combination。而按我想简单了的定义，它正好是{T_n}集合。所以Z-algebra就是{T_n}的有限integer linear combination。

它俩为什么会一样呢？因为有这个公式：
T_pⁿ = T_pT_p^n-1 - p^k-1T_p^n-2

哦。正规定义的T_n正好使eigenvalue等于eigenform的第n项傅里叶系数。

if T_nf = λ_nf, then λ_n=a_n, where a_n is the n-th Fourier coefficient of f.

that's why.

[jiujianoufu]

Galois group representation 在工程上有没有应用？比如Galois group 能否用于三峡大坝有限元应力计算的简化？

[TheMatrix]

Hecke operator T_p 当 p 为素数时，对傅里叶系数的变换比较简单：

f的傅里叶系数为a(n)，那么T_pf的傅里叶系数b(n)
= a(np) 如果 n 不能整除 p
= a(np) + p^k-1 a(n/p) 如果n能整除p

比如p=5，k=12 （Δ的weight）
n=1，那么b(1)=a(5)
n=2，那么b(2)=a(10)
n=3，那么b(3)=a(15)
n=4，那么b(4)=a(20)
n=5，那么b(5)=a(20)+5¹¹ a(1)
n=6，那么b(6)=a(30)
n=7，那么b(7)=a(35)
n=8，那么b(8)=a(40)
n=9，那么b(9)=a(45)
n=10，那么b(10)=a(50)+5¹¹ a(2)
....

b(n)/a(n)就是T₅的eigenvalue。

这个规律确实成立。

而且还可以T₂，T₃，...

这个规律也对Δ的傅里叶系数有很强的限制。肯定是可以递推的。

T_pⁿ的定义和递推公式就在这里。

假设f是T_p的eigenform (eigenvector)，假设f的傅里叶系数是a(n)。而且eigenform我们只研究cusp form，所以a(0)=0。另外，归一化使a(1)=1。

假设T_pf的系数是b(n)。因为f是eigenform，所以b(n)=λ_pa(n)，代入n=1，有b(1)=λ_p。

另一方面，T_p对一个modular form傅里叶系数的变换是：
b(n)=a(np) if n != 0 mod p else a(np)+p^k-1a(n/p)

所以，b(1)=a(p)。也就是，λ_p=a(p)，也就是f的第p个傅里叶系数就是T_p的eigenvalue。

继续，b(p)=λ_pa(p)=a(p²)+p^k-1a(1)，所以，
a(p²)=λ_pa(p)-p^k-1a(1)

继续，b(p²)=λ_pa(p²)=a(p³)+p^k-1a(p)，所以，
a(p³)=λ_pa(p²)-p^k-1a(p)

....

这样就有递推公式：
a(pⁿ)=λ_pa(p^n-1)-p^k-1a(p^n-2)

现在我们定义T_pⁿ使得它作用在f上eigenvalue恰好是a(pⁿ)，那么就可以写成：
T_pⁿ = T_pT_p^n-1 - p^k-1T_p^n-2

这样就有了T_pⁿ的递归定义，同时也有了T_pⁿ作用在f的eigenvalue恰好是f的第pⁿ个傅里叶系数。

那么T_mT_n=T_mn，以及a(m)a(n)=a(mn)，当(m,n)=1，这些都有了。

唯一没有的是T_n的原始定义。这个需要证明。

[TheMatrix]

Galois group representation 在工程上有没有应用？比如Galois group 能否用于三峡大坝有限元应力计算的简化？

group你把它想象成“元素”，比如“碳”。或者不说“碳”，说一个很少的元素，“硫”。

“硫”在三峡大坝里有用吗？肯定有用。但是我也不知道怎么用。

[FoxMe]

Galois group在密码学中是屠龙刀

[TheMatrix]

T_pⁿ的定义和递推公式就在这里。

假设f是T_p的eigenform (eigenvector)，假设f的傅里叶系数是a(n)。而且eigenform我们只研究cusp form，所以a(0)=0。另外，归一化使a(1)=1。

假设T_pf的系数是b(n)。因为f是eigenform，所以b(n)=λ_pa(n)，代入n=1，有b(1)=λ_p。

另一方面，T_p对一个modular form傅里叶系数的变换是：
b(n)=a(np) if n != 0 mod p else a(np)+p^k-1a(n/p)

所以，b(1)=a(p)。也就是，λ_p=a(p)，也就是f的第p个傅里叶系数就是T_p的eigenvalue。

继续，b(p)=λ_pa(p)=a(p²)+p^k-1a(1)，所以，
a(p²)=λ_pa(p)-p^k-1a(1)

继续，b(p²)=λ_pa(p²)=a(p³)+p^k-1a(p)，所以，
a(p³)=λ_pa(p²)-p^k-1a(p)

....

这样就有递推公式：
a(pⁿ)=λ_pa(p^n-1)-p^k-1a(p^n-2)

现在我们定义T_pⁿ使得它作用在f上eigenvalue恰好是a(pⁿ)，那么就可以写成：
T_pⁿ = T_pT_p^n-1 - p^k-1T_p^n-2

这样就有了T_pⁿ的递归定义，同时也有了T_pⁿ作用在f的eigenvalue恰好是f的第pⁿ个傅里叶系数。

那么T_mT_n=T_mn，以及a(m)a(n)=a(mn)，当(m,n)=1，这些都有了。

唯一没有的是T_n的原始定义。这个需要证明。

从递推公式看，Hecke operator的eigenform的傅里叶系数依赖于在素数位置的值。而且是整数依赖，因为递推公式是整数系数的。

但是傅里叶系数在素数位置的值不好求。可能是直接凑：
T_p(1,a₂,a₃,a₄,...)=λ_p(1,a₂,a₃,a₄,...)

LMFDB 里有很多。好像大部分系数是algebraic number，但好像都是在分圆域中，而且前几个系数就能确定这个域。

[FoxMe]

Hecke operator到底是干什么的？Wiki上说是一种平均：

https://en.wikipedia.org/wiki/Hecke_ope ... escription

这里出现了格，不知道是怎么和你的公式联系起来的？

接下来是证明一个modular form f，在Hecke operator作用下仍有modularity。

对于p为素数，Hecke operator定义为：
(T_pf)(z) = p^k-1f(pz) + 1/p ( f(z/p) + f((z+1)/p + ... + f((z+p-1)/p) )

这个要借助于T和S。有了这两个也不容易。说明这个操作的拼凑是很精妙的。

也就是要证明
(T_pf)(Tz) = (T_pf)(z)
和
(T_pf)(Sz) = z^k (T_pf)(z)

第一个利用到 {f(z/p), f((z+1)/p, ..., f((z+p-1)/p)} 在T的作用下的循环对称性。

第二个利用到 {f(z/p), f((z+1)/p, ..., f((z+p-1)/p)} 在S作用下的乘法群的对称性。

所以这些项的拼凑，以及系数的拼凑，都是相当精妙的。这也代表了在傅里叶系数上的操作与拼凑。

据说源于Ramanujan的 Δ-form。

我感觉有点类似于Dirichlet character的发现。

[TheMatrix]

Hecke operator到底是干什么的？Wiki上说是一种平均：

https://en.wikipedia.org/wiki/Hecke_ope ... escription

我也想知道。