圆锥曲线与齐次方程

[TheMatrix]

高中都学圆锥曲线。为什么学圆锥曲线不学圆柱曲线？就是因为圆锥曲线是齐次方程截取的曲线。圆锥曲面就是齐次方程的解集。而圆柱曲面不是。圆锥曲面和圆柱曲面都是直纹面 - 由一根一根直线组成的。但是圆锥曲面的每根直线都通过原点，不仅是直线，还是线性子空间。而圆柱曲面每根直线不是线性子空间。所以圆锥曲面圆锥曲线比较好研究。

不过圆锥曲面是二次曲面，圆锥曲线是二次曲线。扩展到三次就到了三次曲面和椭圆曲线。

圆锥曲线的方法，是先维度升上去，（升一维），然后在高一维的空间中，考察一个几何物体，以这个物体的不同截面，来统一低一维上的各种曲线。统一与联系，这是数学中的一个主题。

齐次方程还有一个好处，就是方便处理无穷大。拓扑上看，它是一个compact space。一个space它是compact的，就可以有穷尽分类研究的可能。

[TheMatrix]

我们研究的是曲线。这是一个一维的几何物体。但是它的方程，是二元函数表达的：f(x,y)=0。而要研究各个曲线之间的关系，还得把它们再升一维，变成圆锥曲面（上的截面）。也就是说要研究一维的曲线，我们升到了三维。

维度这个东西真是厉害，等级森严。低一维看高一维，无穷复杂。而高一维看低一维，一切都是明摆着的。这就叫降维打击。

[Pegasi]

高中都学圆锥曲线。为什么学圆锥曲线不学圆柱曲线？就是因为圆锥曲线是齐次方程截取的曲线。圆锥曲面就是齐次方程的解集。而圆柱曲面不是。圆锥曲面和圆柱曲面都是直纹面 - 由一根一根直线组成的。但是圆锥曲面的每根直线都通过原点，不仅是直线，还是线性子空间。而圆柱曲面每根直线不是线性子空间。所以圆锥曲面圆锥曲线比较好研究。

不过圆锥曲面是二次曲面，圆锥曲线是二次曲线。扩展到三次就到了三次曲面和椭圆曲线。

圆锥曲线的方法，是先维度升上去，（升一维），然后在高一维的空间中，考察一个几何物体，以这个物体的不同截面，来统一低一维上的各种曲线。统一与联系，这是数学中的一个主题。

齐次方程还有一个好处，就是方便处理无穷大。拓扑上看，它是一个compact space。一个space它是compact的，就可以有穷尽分类研究的可能。

圆柱是特殊的圆锥，反之则不然

[TheMatrix]

圆柱是特殊的圆锥，反之则不然

圆柱怎么是特殊的圆锥呢？它不通过原点啊。

[FoxMe]

我们研究的是曲线。这是一个一维的几何物体。但是它的方程，是二元函数表达的：f(x,y)=0。而要研究各个曲线之间的关系，还得把它们再升一维，变成圆锥曲面（上的截面）。也就是说要研究一维的曲线，我们升到了三维。

维度这个东西真是厉害，等级森严。低一维看高一维，无穷复杂。而高一维看低一维，一切都是明摆着的。这就叫降维打击。

举个例子给看看？

高中时圆锥曲线没学好，不知道为啥难题多？

[meiyoumajia]

在中学/大学非数学专业特别注重学习圆锥曲线可能与中学/普通物理比较多的初级问题包括
圆周运动、卫星的椭圆运动、还有发射卫星的运动。

普用/应用性是一个重要考虑。

[TheMatrix]

举个例子给看看？

高中时圆锥曲线没学好，不知道为啥难题多？

我是最近在研究，把一般的三次代数方程，变为标准椭圆曲线方程的时候，学习了齐次方程的方法。我也没有完全搞明白。

一般的三次代数方程（二元）有10项：
x³
y³
x²y
xy²
x²
y²
xy
x
y
1

可以变成标准椭圆曲线的形式：
y²=x³+px+q

首先把原方程齐次化，加个z。再用一个齐次线性变换，也就是换元法：
x -> a₁x+b₁+c₁z
y -> a₂x+b₂+c₂z
z -> a₃x+b₃+c₃z
再代入z=1。这样就应该可以把原方程变成标准椭圆曲线的形式。也就是要找一个线性变换。

但是这是我觉得。不一定对。网上看了一些资料。确实有方法可以变成标准椭圆曲线。但是中间好像有一步不是线性变换。

[FGH]

圆柱曲线只有圆和椭圆吧。

[YWY]

圆柱曲线只有圆和椭圆吧。

平面和圆柱相交，也包括两条平行线

平面和圆锥相交，也包括两条交叉线，其实还有一个点的可能

[萧武达]

圆柱怎么是特殊的圆锥呢？它不通过原点啊。

考虑原点在无穷远 - 欧几里得空间呢
物理意义上，圆锥曲线包含了各种宇宙运动

[TheMatrix]

考虑原点在无穷远 - 欧几里得空间呢
物理意义上，圆锥曲线包含了各种宇宙运动

加了无穷远点就不是线性空间了。

[Pegasi]

圆柱怎么是特殊的圆锥呢？它不通过原点啊。

能明白平行线相交于无穷远处吗？

[TheMatrix]

能明白平行线相交于无穷远处吗？

加了无穷远点就不是线性空间了。

[TheMatrix]

空间想象真的很难。我现在知道3d打印有用了 - 把圆锥面打印出来，圆锥曲线就容易想象了。作3维图都不行，因为我们3维作图一般指的是电脑上用透视法做的图。它实际上还是2维的。而且透视法作图也很难。最关键的是shading。

下面这张图是椭圆曲线：
y² = x³+x+1

它对应的齐次方程是：
y²z = x³+xz²+z³

齐次方程的解，是一个直纹面。每一条直线都通过原点。而该曲线可以看成是这个直纹面被z=1平面截取出来的曲线。也可以说是广义的圆锥曲线。



现在给大家5分钟，脑袋里面想象一下这个直纹面。。。。

现在想象该直纹面以x-轴为旋转轴开始旋转 - 上半部分朝着我们的方向旋转。转到每一个角度的时候，仍然用z=1这个平面截取圆锥曲线。那么在每个旋转角度上截取出的圆锥曲线应该是什么样子？比如说，转动45°是什么样子？转动90°是什么样子？

[TheMatrix]

图我已经做出来了。但是还是不能在脑袋里把它的变化“形成”。放在这里，大家一起想。

degree=0


degree=5


degree=10


degree=15


degree=20


degree=25


degree=30


degree=35


degree=40


degree=45


degree=50


degree=55


degree=60


degree=65


degree=70


degree=75


degree=80


degree=85


degree=90

[TheMatrix]

哦。我画的坐标尺度太小，放到(-20,20)，旋转5°就出现大拐弯了。

[TheMatrix]

哦。我画的坐标尺度太小，放到(-20,20)，旋转5°就出现大拐弯了。

我不明白这部分是怎么出现的：

[FoxMe]

能不能画个三维的图？

[TheMatrix]

我不明白这部分是怎么出现的：

想明白了。主要是这一点（图中的红点）。这个点实际上是个“可去奇点”。从右边和左边分别接近它，但是从直纹面实物截取来看，这个点是不存在的。所以是可去奇点。没有实物很难想象啊。

[TheMatrix]

能不能画个三维的图？

三维图我只会画线图，但是线太多就乱了，看不出前后了。动图也看不清。